〈一座城市裡面，會有兩個頭髮數量完全一樣的人嗎？：簡單聊聊鴿巢原理〉2025-10-01
「一座城市裡面，會有兩個頭髮數量完全一樣的人嗎？」面對這樣的問題，不同的人可能會有不同的直覺：覺得頭髮數量完全一樣很誇張，或覺得只要人夠多，什麼巧合都有可能發生。
又或者，有人會覺得頭髮數量這種事情根本不可能數清楚，就算「理論上」有答案，它也是個無法驗證的問題。甚至你數到一半的時候，這個人的頭髮又掉了幾根，這樣根本無從計算。
然而，這個問題其實比想像中的簡單，雖然我們的確很難數清楚一個人的頭髮有幾根，但根據科學家對人體的研究，我們知道一個人的頭髮數量會落在0到15萬根之間（多數落在10~15萬根）。
以台灣的縣市來說，本島人口最少的屏東縣有20多萬人口，外島除了連江縣之外，金門與澎湖也都有超過十萬以上的人口。所以，在絕大多數的台灣城市中，「因為人數夠多所以總會有人頭髮數量相同」的直覺是對的，而且我們有非常清晰的數學說法可以解決。
鴿巢原理與城市頭髮問題
有一個著名的數學理論叫做「鴿巢原理」，就是說，如果我們要把一定數量的鴿子放進鴿巢中，只要鴿巢的數量比鴿子少，就一定會有鴿子必須與其他鴿子住在同一間。譬如四隻鴿子要進入三間鴿巢，至少會有一間鴿巢必須住兩隻鴿子（當然，也可能四隻都住在同一間鴿巢，但不可能每間都只住一隻）。
以這個頭髮數量的問題來說，如果有一個全知者，就像分配鴿子進入鴿巢那樣，要求整座城市的每個人，按照自己的頭髮數量進到相應的旅館房間（哪裡有這麼多房間的旅館？這個問題可以去問數學家希爾伯特（David Hilbert），他會有辦法的）。我們就會發現，一定會有房間不只處一個人，因為城市的人口數遠比房間的數量還多。
也就是說，我們不必知道如何精確計算人的頭髮數量，就可以得出這個問題的必然答案。這向我們揭示了數學其中一個特別有意思的地方：它不依賴於真實世界，卻可以用來說明真實世界。
數學，有時也能不只是數學
除了「城市頭髮問題」之外，鴿巢原理還能夠給我們一些更不符合直覺，令人感覺莫名其妙的數學結論，譬如：「任意數量的人隨機握手，至少會有兩個人握手數量一樣」。
因為每個個人「握手過的人數」介於0人（完全不握手）與n-1人（和自己以外的所有人握手）之間，而且0人和n-1人的情況不會同時出現（因為如果有人完全不握手，另一個人至少就會沒跟它握到手，也就是握手人數最多只有n-2），所以總人數永遠比「可能的握過手人數」多，就可以用鴿巢原理來得到結論。
除了可以回答這些數學競賽式的奇怪問題外，鴿巢問題也證明了「無損壓縮不可能」，或者更通俗地說「只要簡化就難保會失真」。一定程度上，鴿巢原理也說明了：如果資源不足，競爭或衝突遲早會發生，只是什麼時候、有沒有被我們看見而已。
這些想法是數學，但有些時候數學不只是數學，也能作為一種工具或思維，讓我們更清晰地洞察我們所處的這個世界。
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