FIRE族，你的提領安全嗎?3類財務恢復力
文章目標及前情提要
在先前《離退休要多久？目標時間與儲蓄率換算》之中，貓貓以 FIRE 框架為基礎，並使用固定儲蓄率(固定消費水準)的假設，來試算財務安全條件。此時所謂財務安全條件是指在沒有額外開銷前提下，賺得比花得多的條件。
然而固定開銷的假設本身過於理想，精確而缺乏容錯空間的規劃有些苛刻。貓貓希望基於相同基礎《複利？不錯但還可以更精確》，來重新檢視能否放寬提領假設，並探討 FIRE 規劃的容錯能力。
換個說法
財務狀況函數
承續上述探討複利的基礎，依舊不計風險，可以列出投入(S0>0)或提領(S0<0)時的財務狀況。在穩定環境中，可以得出時間 t 的財務狀況函數，並藉此作後續討論。其中 a 為投資成長、b 為投入比率或支出對提領的依賴程度、d 為加薪或通膨。
財務狀況常微分方程
由遞迴關係得出的財務狀況函數依賴著正整數時間。而在連續時間的情況下，考慮財務狀況函數 A(t) 及 S(t) 對時間 t 的一階、二階導數很是自然。此時可以湊出 A(t) 及 S(t) 的微分方程式，並特別關心資產成長率。
結果
資產成長率變化特性
資產成長率滿足一階常微分方程，且其導數可以是作凹口向下的二次函數。依照參數 a、d 的設定，可在不同範圍內分類資產成長率的特性。
FIRE 提領安全性分類
在 FIRE 的設定中，資產勝過通膨。所以對參數 a、d 有所要求，只需考慮資產成長率的部分特例。再者，投入階段與提領階段相當不對稱，以提領階段有著較為豐富的結構。在提領階段，部分資產被提領，造成資產增長率隨著不同提領方式有著不同分布。此時，資產成長率坐落在什麼範圍內，則造成安全性的差異。
FIRE的維持在提領階段，無論安全性，須滿足上述三個條件，否則失敗。
討論
本篇在承續《離退休要多久？目標時間與儲蓄率換算》之後，將花費(1-b)St改以資產增長率與 ln(a) 間的差異來刻畫，並提出提領階段的安全性條件:
- 強安全條件，資產加速成長，少許額外支出加速恢復
- 弱安全條件，資產加速成長，少許額外支出放緩恢復
- 不安全條件，資產勻速成長，少許額外支出加速衰退
- 不滿足條件，資產加速衰退
此安全性條件為上圖FIRE 安全條件分類的換個說法，用以區分各種安全性條件所容許的意外支出。當資產在面對少許額外提領的時候，有更強恢復力的稱作強安全條件；反之，少許額外支出使恢復力開始減弱，則稱弱安全條件；至於完全沒有恢復力，全然不能容錯的，稱作不安全條件。
本篇所用參數保留由市場及投資組合決定的 a 以及由環境所決定的通膨 d，讓個人消費決定的 b 不再需要預先訂定，使得條件更為放寬。然而一般來說，a 及 d 皆是會隨時變動的參數，仍需要考慮各種可能數值的機率分布，才最為適當。
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