平面國: 向上而非向北

　　平面國這本書即使已經出版了130年，在全世界還是有很多熱心的讀者，台灣也是喔，上Google找書評，可以找到很多。我自己則是因為最近接連看了星際效應與三體，非常好奇四維空間會長怎樣，上網查資料的過程中，知道了平面國這本書。這篇文章是英文版，濃縮了書裡的精華，我自己再簡單詮釋一遍。因為再過幾天這本書就要到期，要還給圖書館了。奉行簡單生活的我，很早就不再買書。

　　主角是個可憐的，二維世界平面國裡的正方形，他被關進了大牢，因為他散播了三維立體國的事情，當局覺得他妖言惑眾，是瘋．子．中．的．瘋．子(書裡真的這樣寫，超好笑)。正方形在平面國可是受過教育的知識分子呢，身分地位算高的，書中鉅細靡遺的描述平面國的階級: 女人是直線，不規則多邊形一出生就要該被處死，那畸形的外表，簡直不成「人」形。圓形則是祭司，最高階級的人種。

　　正方形體貼的為我們這些立體國的人，解釋一下他們所處的世界。大家先不妨把平面國想成一個很大很大的海洋，並且先假設這個海洋放在一張很大很大的桌子上。有很多直線，正方形，正三角形，等腰三角形…浮在水面上。

　　如果你是一個立體國的人，你俯身看這片海洋，你可以看到整個桌上型海洋世界的全貌。如下圖一的(1)，你可以看到他是一個正三角形，然後你慢慢蹲下來，你會覺得正三角變扁了如下圖的(2)。你再慢慢蹲下，一直到視線跟桌子平行，貼在水面上，你會發現正三角變成一條線了，如下圖的(2)。這就是平面國的世界。平面國的居民看到他們身邊的同伴，每個人都是長短不一的線段。

　　所以在平面國的世界裡，每個人(正方形，正三角形，等腰三角形…)都是長短不一的線段。大家的正面會有個眼睛，就是下圖的A，然後線段會微微發亮，離眼睛最近的地方會最亮。所以下面的(1)是個正三角，他有個眼睛落在A，然後其他平面國居民看到他，是看到D~E這條線，中間很亮，兩邊暗暗的。(2)是正五邊形，一樣有個眼睛落在A'，然後別人看到他，是看到D'~E'這條線。可以看到D'~E'比D~E這條線長，所以正五邊形階級比較高。他們依照這樣長短不一的線段來區分彼此是什麼人(什麼形狀)，什麼階級。

　　比較高階級的人可以用視覺這樣判斷，但低階級的人就必須要用觸摸的。但視覺判斷要經過長久訓練，如果你不是生在富貴之家，你要自學這種訓練會非常辛苦。(這邊是在諷刺權貴或王室總是有自己的約定俗成，例如高貴的衣著，口音啦，用刀叉的習慣等。一般平民要擠入上流而不被識破，很難。)

　　這邊解釋一下圓形是最高祭司，是平面國階級最高的人，如果以地球類比，可能就是美國總統吧。可以注意到他的長度是C~D，不是D~E喔。

　　有一天，主角正方形做了一個夢，他來到了所謂的直線國。直線國的居民都住在一條線上，男人是一小段線，女人則是一個點。可以看到下圖，線段最長的國王住在最右邊。大家一出生，位置就決定的階級，因為直線國大家位置都是固定的，不可能跳起來，或踩過別人(別條線或別個點)去其他的位置。書中還很仔細地描述了直線國其他有趣的事情。

　　所以當正方形拜訪直線國的時候，如下圖，他還是一個二維正方形，還沒有降成一維。所以正方形可以看到這條線上所有的人(指所有的線段跟點)，所有的事。他告訴國王，真實世界不是只有這條線，可以運動的方向也不是只有前後，還有左右喔，但國王根本聽不懂叫做「左右」。

　　有一天，立體國的球體來了，三維的球體選中了這個正方形，希望可以佈達三維的知識。當球體出現的時候，正方形無法「完整的看到球體」，他是先看到了一個比較大的圓，又突然變成比較小的圓(2)，有時候又可以變成一個點(3)。當然平面國每個居民，是無法這樣忽大忽小的。

　　球體把正方形帶到了立體國，並且告訴他經句: 向上而非向北。平面國是沒有向上這種概念的，他們可以有東南西北(XY軸)，但他們不知道什麼是上下(Z軸)。就像是直線國居民只知道左右單軸一樣。

　　球體把好幾個正方形「往上」疊加，如下圖(1)。但一開始正方形還看不懂，他看把(1)看成(2)，覺得這個「東西」就是個不規則的多邊形，一出生就該被處死。

　　但球體很有看耐心的教他怎麼觀察角度，8個頂點，光線陰影的變化等，慢慢的正方形也就可以看到(1)這個正方體了。但很可惜正方形回到平面國後，在大牢裡被關到老死。是個瘋．子．中．的．瘋．子。沒有辦法教其他人辨識正五方體，正三角體…The End.

　　所以我查的其中一篇文章就這樣寫到，或許我們本來就身處在好幾維的世界，只是我們的感官並沒有進化到可以辨識出四維景象，就算我們看到了，也像上圖(2)那樣，我們並不知道我們看到了什麼。假設你是一隻螞蟻，你也看不到一整張完整的椅子，而且螞蟻人只能慢慢的爬過這張椅子的每個點，假設有一隻螞蟻中的愛因斯坦，他把爬過的每個點都記錄下來，並且建立模型，然後他會告訴其他螞蟻國民，我們每天爬的這個世界，可能就是這樣(一張椅子)。但螞蟻依舊看不到整張椅子。螞蟻人可能要花兩個月爬過每個點，才知道這是椅子形狀的東西，我們人類瞄一眼就知道了。

　　這也可以解釋現在有很多的現象是我們無法理解的，例如為什麼宇宙會膨脹，什麼是暗物質，量子糾纏，相對論為什麼這麼超乎直覺。目前也沒有好心的四維人來教我們，我們這顆寂寞的藍色星球，或大型的螞蟻人，就這樣孤獨地活在這個浩瀚的宇宙三維時空裡面。