複利的數學 72法則

有追蹤者朋友讀了《投資金律》，在狂徒社群問我問題。

我決定說幾個簡單故事，只會用到高中數學，讓各位都能輕鬆了解，什麼是複利和72法則。

1. 什麼是複利?

從前從前，在狂徒國的銀行，利率是每年50%

小狂是個勤奮好學善良純潔的傑出青年，它存了100元進銀行，打算10年後再拿出來。

狂少是個不務正業的紈褲子弟，他也存了100元進去，但是他想要利息cover每一天，所以每年都要把利息領出來，只留本金在裡面。

另外還有一個傢伙叫做狂爺，手拿次元刀，不過它的故事比較狂，我後面會分開說。

第一年過去了，小狂和狂少兩個人的錢都從100元變成150元。

可是狂少領出了50元利息，所以他的帳戶內又變回100元。

如果把銀行存款加上手中的利息，那他的總金額就是100+50=150元。

第二年過去了，狂少的銀行帳戶有多少錢?

答案是150元，因為這些錢是從100元開始成長的。

他一樣領出利息，再加上去年領過的利息，總金額是100+50+50=200元。

那麼小狂呢? 是不是也多了50元，所以變成200元?

錯，因為他在第二年的起點是150元，所以成長50%之後，他真正擁有的金額會是225元。

第三年，狂少領出利息，銀行內還是100元，總金額是100+50×3=250元，而小狂則有100×(1+50%)³=337.5元。

依此類推，經過十年，兩個人的總財產怎麼變化呢?

狂少有本金100元，以及10次的單利，變成100+50×10=600元。

而小狂則是100元，經過10次的複利，變成100×(1+50%)¹⁰=5766.5元。

可見經過一段時間之後，複利會遠勝單利的累積。

而想要知道最終有多少錢，我們又須要考慮幾個重要的因素。

第一，本金多少，這裡是100元。

第二，利率多少，這裡是50%.

第三，時間多長，這裡是10年。

第四，計算利率的週期多長，這裡是1年算一次。

2. 現在，我用數學公式來表示。

FV=PV×(1+r)ᵗ

FV: 最終金額

PV: 現在金額(本金)

r: 每一期的利率

t: 有幾期

有了這個複利公式，只要妳知道這些資訊，就能夠馬上算出最終金額。

而且更方便的是，妳還可以利用公式「倒推」。

四個數字裡面，妳只要知道三個，就可以馬上算出另外一個。

案例一，假設狂徒國把利率上調到100%，其它條件不變，這樣小狂最終金額會變成多少?

FV=100×(1+100%)¹⁰=102400元，簡單。

案例二，假設利率30%，小狂存15年，最終金額是多少?

FV=100×(1+30%)¹⁵=5118.6元，輕鬆。

案例三，小狂想要5年變成3倍，他需要多高的利率?

等一下，這題好像比較難，因為唯一的線索是時間，但是目前本金與最終金額都不知道。

事實上，這邊有個隱藏版的線索，叫做「變成3倍」。

所以如果PV=❤️，那麼FV就是❤️×3，我們再放入公式看看。

❤️×3=❤️×(1+r)⁵

同除以❤️，算式變成3=(1+r)⁵

同取ln，ln3=5×ln(1+r)

⇒ln3÷5=ln(1+r)

ln3÷5=0.22

⇒ln(1+r)=0.22

⇒1+r=1.246

⇒r=0.246=24.6%

所以，每年利率要24.6%，這樣經過5年，就可以變成3倍。

不信的話，可以把這個答案帶回去驗算。

❤️×(1+0.246)⁵

=❤️×(1.246)⁵

=❤️×3.00

由此可知，我們不用管❤️到底是多少，只要知道「幾年」和「幾倍」，就可以算出利率了。

3. 翻倍時間和利率

做個實驗，我先考慮翻倍，也就是兩倍的狀況。

如果小狂想3年翻倍，利率要多高呢?

我先用原始版算一次，再用快速版算一次。

💵×2=💵×(1+r)³

同除💵，算式變成2=(1+r)³

同取ln，ln2=3×ln(1+r)

⇒ln2÷3=ln(1+r)

ln2÷3=0.231

⇒ln(1+r)=0.231

⇒1+r=1.26

⇒r=0.26=26%

快速版呢? 直接不管本金符號💵了。

ln(1+r)=ln2÷3=0.231

⇒1+r=1.26

⇒r=26%

從這裡妳可以發現，對於本金翻倍而言，一個時間長度就對應一個利率。

同樣的，一個利率也對應一個時間長度。

如果要本金變成3倍、4倍、5倍...一樣會有固定的對應關係。

我直接把利率和時間的關係畫成圖，更加清楚。

4. 72法則

從上圖中，各位可以發現不管目標是幾倍金額，利率和時間的關係曲線形狀都很像，而且平滑、漸變、有規律。

所以，如果我只考慮翻兩倍的狀況，那關係線就只會有一條，而且大家畫出來都會一樣。

現在，離開狂徒國，回到正常的地球國家。

一般的銀行存款利率都在5%以下，而股票的長期平均報酬，也不會超過20%，所以我只要關注這部分就好。

我把圖重新畫一次，並且適當拉伸。

有了這張圖之後，我如果想知道利率和翻倍時間的關係，根本不需要重新計算，只要查對應的點就好。

例如報酬12%，那翻倍的時間差不多就在比5年多一點的位置；或是25年翻倍，那所需報酬就在2%和4%中間。

既然如此，我可以畫出一個很像的曲線，但是又方便心算，這就是72法則曲線。

假設利率是r，時間是T，那麼兩個相乘就要是72.

如果把T×r=72畫在圖上，就會和翻倍曲線很像。

「狂徒，我不信，你畫給我看。」

看到了吧，這兩條線這麼「貼」，我都不禁想到我前陣子在Omni夜店貼的妹子......妹子的貼文了。

所以為什麼一定是72這個數字?

如果你的眼睛夠好，會發現最貼的地方就在利率6%-8%左右，而這就是正常股票大盤的長期報酬區間。

就算超出這範圍，兩條線依然十分貼近。

況且，72有很多因數，所以好心算。

例如6年翻倍，對應的就是12%利率；或是4%利率，對應到的就是18年翻倍。

嚴格來說，翻倍曲線實際上是「對數曲線」，而72法則屬於「雙曲線」，兩者不相同。

但是投資人沒必要那麼精確的算出預期報酬或預期時長，因為真實資產會有波動，而且報酬也難以預估，所以在合理區間內算個大概就夠了。

至於不合理區間，當然會有誤差，就像如果你要求一年翻倍，72法則會告訴你72%利率，但真正答案是100%利率。

5. 複利大魔王

利用72法則，小狂就跟各位讀者一樣，可以快速計算出翻倍的條件。

有一天晚上，他走在路上，一邊練習72法則，一邊低頭思考複利的數學。

結果經過一間店的時候，不小心撞到兩個剛出門的顧客。

兩個人被撞倒在地上，店裡面的人也嚇一跳。

小狂抬頭一看，愣住了，門口寫著「複利皇家」。

「這怎麼和以前聽過的台北便服酒店有點像?」小狂心想。

狂少和狂爺掙扎著從地上爬起來。

看到小狂呆在那邊，狂爺拔出次元刀，就想砍人，結果被狂少攔了下來。

「唉呀狂爺，算了算了，車子也快到了。」狂少眼明手快。

「我看他這樣，根本就是欠砍。」狂爺說。

「別衝動啊，有事好說。」狂少瞪了一眼小狂，然後繼續把狂爺拉走。

「我沒衝動，我認為他真的欠砍。」狂爺開懷狂笑。

「欠......喔好，不過別急，想砍等下篇再砍。」狂少看了一眼狂爺身上的次元刀，又看了一眼小狂，意味深長的笑了起來。

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