機率與期望值

在正式開始之前, 先請大家回想一下, 你是否有過這樣的經驗。坐在電腦桌前, 查詢自己期末考成績, 在學校系統的登入頁面, 一字一字輸入帳號密碼時, 那種忐忑不安的心情。或者是人生第一次準備要牽起心儀女生的小手, 心臟撲通撲通快要跳出來的感覺。在這兩件看似完全不相關的事情背後, 其實有個共通點：不確定性, 你不知道下一秒鐘卡片翻過來是黑色還是白色, 如果這個結果嚴重影響你接下來人生的發展, 就會很抖。

回到主題, 當我們面臨一個不確定的狀況時, 事情接下來可能會往幾種不同的結果發展, 機率是一把刻度從零到一的尺, 用來衡量各種結果發生的可能性。說起來有點饒口, 以投擲硬幣為例, 出現正面的機率為a反面為b, 我們可以先畫樹狀圖：

每個結果發生的可能性都介在0到1之間, 所有的可能性加起來要是1, 因此我們可以把樹狀圖改成

值得注意的是：各種, 不僅是侷限在課本上的排列組合, 不過你放心, 這裡不會有很瘋狂的計算, 我會盡力維持版面的親切感。(註：我們將事情可能發生的結果稱為事件。)

機率的計算方式有三種：

舉個例子, 拿一個公平的骰子丟下去, 骰子在桌上轉轉轉, 停下來之後出現1到6的機率相等, 因此回推可以得到每個點數出現的機率都是六分之一, 這是古典機率的算法。換個場景, 今天我們想知道會到某家商店男生光顧的機率, 你會怎麼做呢? 實地到那間商店, 先計算某個時段進出商店的總人數, 再計算出男生的總人數, 兩者相除就可以計算出男生出現在這間商店的機率, 這樣算出來的機率稱為頻率機率。現實生活中有許多種場景 (例如：最初要大家想像的兩種情況), 不是每個結果的可能性都相等, 也無法事先做實驗, 這時候我們無法算出古典機率或頻率機率, 就只剩下主觀機率。主觀機率顧名思義就是根據個人經驗對事件發生的可能性做出主觀的判斷, 什麼是主觀：

當然這樣的判斷多少包含了個人的偏見, 但這也未必是件壞事, 改天有機會再做更詳細的介紹。

機率這把衡量不確定性的尺, 對於一般人的人生影響有限, 但如果把另一個元素考慮進來, 這個工具組就會變得很強大, 強大到可以幫助你在面臨選擇的時候, 做出對自己較有利的決策。什麼概念呢? 報酬, 就是當樹狀圖上的某一支發生後, 你能獲得多少好處。

再說下去太複雜了, 舉個例子, 假設今天我跟你玩個遊戲, 規則是這樣：我丟一個硬幣, 如果出現人頭, 我給你20塊, 出現字你給我10塊, 但你必須要給我3塊才能玩這個遊戲, 你願意嗎? 從機率的角度來看, 出現正面和反面的機率各為二分之一, 我們把每種情況可以得到的獲利按照發生的機率做加權平均, 就可以對我們參與這場遊戲能獲得的好處做出合理的預期。翻成白話：期望值就是玩這個遊戲我的平均利潤是多少, 只是這個平均是站在機率的角度。具體算法20*0.5+(-10)*0.5=5, 代表玩這個遊戲你預期你的收益是5塊, 扣掉成本也就是入場費只要3塊, 有2塊錢的獲利空間, 玩這個遊戲對你有利, 可以選擇參加。

一般而言, 這樣的遊戲如果只玩一次意義不大, 你也不會看到2塊這個數字, 只有出現人頭你拿走17塊, 或是出現字你還要額外再給我10塊, 這兩種情況。只有在這個遊戲被大量重複的情況下, “平均” 二字才能發揮其意義, 背後的運作機制之後會再出一篇文章來談。現在讓我們試著想像一下, 假設今天這個遊戲無限進行下去會發生什麼事? 從你獲利的角度來看, 會長這樣：

但我們稍微對這張表格動個手腳, 改從平均的角度看他

也就是說, 你每玩一次我就損失兩塊, 你只要一直玩下去, 我遲早會破產。但是, 事情都是一體兩面的, 如果今天我把遊戲規則改成出現人頭你要給我200塊, 出現字我給你100塊, 那多玩幾次我就發財了。

你可能會說：這個遊戲對我這麼不利, 我才不會參加。是的，所以身為一個莊家我會使出千方百計, 讓這個遊戲看起來比較誘人一些 (aka 讓期望值不要負的那麼明顯), 比如：調高遊戲的入場費用, 那乍看之下, 你贏一次可以拿走20塊, 輸一次只要付10塊情況對你有利, 但其實在繳錢的那一刻, 你就已經輸了。如果想把梗埋的更深一點, 就會從機率著手, 舉個例：輪盤。

如果你壓黑色而且球停在黑色, 你就會獲得你壓住的金額, 若停在紅色錢就歸莊家, 這樣的機制設計看似期望值為0, 值得注意的是盤面上有一格是綠色的, 因此不論你押紅色或黑色, 你獲勝的機率都小於50%, 期望值都小於0。

以上是正常的期望值教學。你可能會想問：這種東西應該很多人知道吧, 賭場怎麼經營得下去呢? 這歸功於好奇心, 只要每個人基於好玩過去玩個一次, 賭場大量遊客就能推動這個遊戲不斷進行下去, 也就是說, 在你眼裡你只跟莊家玩一次遊戲, 但在莊家眼裡, 每個人都過來跟我玩一次, 我就玩了非常多次, 至於要怎麼讓來的人多玩幾次, 就是另外的故事了。

總結來說, 在我們人生面臨選擇時, 不妨先靜下心來, 拿出紙跟筆畫一下樹狀圖, 列出未來事情發展的可能性、機率與報酬, 從期望值的角度思考, 重新檢視自己的決策。在做壞事前, 不要只看出事的機率很低, 也要想想出事之後你必須付出的代價有多大, 剛開始為惡時, 可以嘗到甜頭, 這很正常因為爆炸的機率低嘛, 但人生是一場無限的遊戲, 夜路走多了總會碰到鬼, 很多時候只要失敗一次, 就會把前面累積的通通都輸掉了 (如果想體驗一下這種感覺, 你可以跟自己玩個遊戲, 拿出兩個骰子, 骰到幾就獲得幾塊錢, 但當兩個骰子同時出現一的時候, 你的錢要歸零, 而這個遊戲沒有見好就收, 你必須一直玩下去)。

最後, 留給你一個小問題, 在你的生活中用到機率的機率是多少？