GRSS relativity 016
想像空中的一條手帕，此手帕、是以向量形式P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示者。
在三維空間的曲面 (手帕) P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 之映射下，平面上的獨立變數x、y、表示曲面 (手帕) 上每一點P 在平面的投影位置；此中，x、y 的獨立性乃構成曲面之基本要件。因而，在二維平面上，x 軸的某位置、對應y 軸的某位置、將交會出一個點(x, y)。
由於x、y 彼此獨立，即便轉換其座標、令：x = f(r, θ)、y = g(r, θ)，
仍有：
∂x/∂y
= ∂x/∂r ∂r/∂y + ∂x/∂θ ∂θ/∂y
= ∑ᵢ ∂x⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂y
= δˣᵧ
= 0
上述、乃「二變數x、y 彼此獨立」的直接結果，與前節、由Jacobian「正」「逆」矩陣內積恆等於單位矩陣、推導出：∂x/∂y = δˣᵧ = 0 者，完全等價，即便於座標轉換後，x、y 與r、θ 互為函數關係，x、y 仍為平面之獨立變數，往上映射、即成為曲面 (手帕) 之參照線，而，曲面本身之幾何意義、卻絲毫不因參照方式之改變而受侷限或有所影響也。
再由點(x, y) 往三度空間上、對應到z 軸的某位置、交會出三維空間上一點P = (x, y, z) 而言，其「高」z、乃由點(x, y) 往上對應得到者，表示為z = f(x, y)。
因而，P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示由平面上的點(x, y) 對應到空間上的「高」z = f(x, y) 所建構出的曲面 (surface)。
當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x 軸方向之變化、為∂P/∂x，在y 軸方向之變化、為∂P/∂y；又命∂P/∂x 表示為𝐞ₓ，∂P/∂y 表示為𝐞ᵧ，二者皆為向量、而非純量。
如此、即有：
∂P/∂x = 𝐞ₓ = [1, 0, ∂f/∂x]
∂P/∂y = 𝐞ᵧ = [0, 1, ∂f/∂y]
因而，任意一點的微小移動dP、可分解為：其在x 軸方向、與y 軸方向的微小移動之組合，此即：
dP
= [dx, dy, dz]
= [dx, dy, ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy]
= [dx, 0, ∂f/∂x dx] + [0, dy, ∂f/∂y dy]
= [1, 0, ∂f/∂x] dx + [0, 1, ∂f/∂y] dy
= ∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy
= eₓ dx + eᵧ dy
dP 為向量，其長度之平方、等於它與自身的內積。
依分配律，有：
∥dP∥²
= dP⋅dP
= (𝐞ₓ dx + 𝐞ᵧ dy) ⋅ (𝐞ₓ dx + 𝐞ᵧ dy)
= (𝐞ₓ⋅𝐞ₓ) dx² + 2 (𝐞ₓ⋅𝐞ᵧ) dx dy + (𝐞ᵧ⋅𝐞ᵧ) dy²
= (1 + (∂f/∂x)²) dx² + 2 (0 + ∂f/∂x ∂f/∂y) dx dy + (1 + (∂f/∂y)²) dy²
= dx² + dy² + [(∂f/∂x)² dx² + 2 ∂f/∂x ∂f/∂y dx dy + (∂f/∂y)² dy²]
= dx² + dy² + dz²
現若定義「非座標基向量」(non-coordinate basis vectors) 之內容為：g₁ = r̂、g₂ = r θ̂、g₃ = ẑ，則在三維空間中，任意曲面亦得以(r, θ, z) 座標、表為：
P = (r, 0, f(r, θ))
其線性之展開、則為：
P = r g₁ + 0 g₂ + f(r, θ) g₃
第一分量r 沿g₁ (徑向) 行進，第二分量0 沿g₂ (角向) 行進，第三分量f(r, θ) 沿g₃ (高向) 行進。
其中，g₁、g₂、g₃ 皆為非座標基向量 (non-coordinate basis vectors)、而非單位基向量 (unit basis vectors)。
如此之定義，乃因由偏微分所導出之座標基底向量 (coordinate base vectors)、實際是位於曲面的某一點之切空間中，並非位於平面上、而是貼附於曲面，是故，若僅以座標基底向量來建構整體幾何、將無能描述曲面的嵌入空間之具體性質，因而，非座標基向量乃為分析過程中不可或缺者。
而：
∂g₁/∂r = 0
∂g₁/∂θ = ∂/∂θ r̂ = θ̂ = g₂ / r
∂g₂/∂r = ∂/∂r rθ̂ = (θ̂ + 0) = θ̂ = g₂ / r
∂g₂/∂θ = ∂/∂θ rθ̂ = (0 + r (-r̂)) = r (-r̂) = -r g₁
P 對r 和θ 偏微分、分別是：
∂P/∂r
= (∂r/∂r g₁ + r ∂g₁/∂r) + (0 + 0 ∂g₂/∂r) + (∂f/∂r g₃ + f(r, θ) ∂g₃/∂r)
= (g₁ + 0) + (0 + 0) + (∂f/∂r g₃ + 0)
= g₁ + ∂f/∂r g₃
和
∂P/∂θ
= (∂r/∂θ g₁ + r ∂g₁/∂θ) + (0 + 0 ∂g₂/∂θ) + (∂f/∂θ g₃ + f(r, θ) ∂g₃/∂θ)
= (0 + r g₂/r) + (0 + 0) + (∂f/∂θ g₃ + 0)
= g₂ + ∂f/∂θ g₃
因dP 為向量，其長度平方等於它與自身的內積。
依分配律，有：
∥dP∥²
= dP⋅dP
= (∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ) ⋅ (∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ)
= (∂P/∂r⋅∂P/∂r) dr² + 2 (∂P/∂r⋅∂P/∂θ) dr dθ + (∂P/∂θ⋅∂P/∂θ) dθ²
計算每一項內積：
∂P/∂r⋅∂P/∂r
= (g₁ + ∂f/∂r g₃) ⋅ (g₁ + ∂f/∂r g₃)
= g₁⋅g₁ + 2 ∂f/∂r g₃⋅g₁ + (∂f/∂r)² g₃⋅g₃
= (1) + 2 ∂f/∂r (0) + (∂f/∂r)² (1)
= 1 + (∂f/∂r)²
又，
∂P/∂θ⋅∂P/∂θ
= (g₂ + ∂f/∂θ g₃) ⋅ (g₂ + ∂f/∂θ g₃)
= g₂⋅g₂ + 2 ∂f/∂θ g₃⋅g₂ + (∂f/∂θ)² g₃⋅g₃
= (r²) + 2 ∂f/∂θ (0) + (∂f/∂θ)² (1)
= r² + (∂f/∂θ)²
又，
∂P/∂r⋅∂P/∂θ
= (g₁ + ∂f/∂r g₃) ⋅ (g₂ + ∂f/∂θ g₃)
= g₁⋅g₂ + ∂f/∂r g₃⋅g₂ + ∂f/∂θ g₃⋅g₁ + ∂f/∂r ∂f/∂θ g₃⋅g₃
= (0) + ∂f/∂r (0) + ∂f/∂θ (0) + ∂f/∂r ∂f/∂θ (1)
= ∂f/∂r ∂f/∂θ
代入前式、即得：
∥dP∥²
= (∂P/∂r⋅∂P/∂r) dr² + 2 (∂P/∂r⋅∂P/∂θ) dr dθ + (∂P/∂θ⋅∂P/∂θ) dθ²
= (1 + (∂f/∂r)²) dr² + 2 (∂f/∂r ∂f/∂θ) dr dθ + (r² + (∂f/∂θ)²) dθ²
若定義度量張量 (metric tensor) 為座標基底向量 (coordinate base vectors) 的內積：
gᵢⱼ = eᵢ⋅eⱼ = ∂P/∂uⁱ⋅∂P/∂uʲ
則有：
ds² = ∥dP∥² = gᵢⱼ duⁱ duʲ
GRSS relativity 017
度量張量gᵢⱼ、好比空間中度量曲面 (手帕) 的小方格，其邊緣、對應局部座標系如(u¹, u²) 或(r, θ) 的基底向量，用以描述在基底向量方向上的單位長度 (g₁₁、g₂₂)、基底向量間的夾角 (g₁₂)、小方格的面積 (det(g)) 等。
GRSS relativity 018
此節是以實例、示範如何求得gᵢⱼ。
GRSS relativity 019
以下、乃是由一片虛無的空中、創造出相互對應的兩組參照系：
任意向量V、可表示為其逆變分量 (contra-variant components) Vʲ、乘以座標基底向量之總和：
V = ∑ⱼ Vʲ eⱼ
其中，Vʲ 是純量，而，eⱼ 則是座標基底向量 (coordinate base vectors)、又稱自然基向量 (natural basis vectors)。
今，若定義向量V 之協變分量 (co-variant components) Vᵢ、為向量本身與特定座標基底向量的內積，則有：
Vᵢ
= V⋅eᵢ
= ∑ⱼ Vʲ eⱼ⋅eᵢ
= ∑ⱼ Vʲ gⱼᵢ
= V¹ g₁ᵢ + V² g₂ᵢ
= gᵢ₁ V¹ + gᵢ₂ V²
此時、欲求向量V 的逆變基底向量eⁱ，已知：V = ∑ⱼ Vʲ eⱼ = ∑ᵢ Vᵢ eⁱ
目標為解出eⁱ，首先，將前述協變分量之定義套入上式、即有：
∑ᵢ Vᵢ eⁱ
= ∑ᵢ (∑ⱼ Vʲ gⱼᵢ) eⁱ
= ∑ᵢ∑ⱼ Vʲ gⱼᵢ eⁱ
= ∑ⱼ Vʲ (∑ᵢ gⱼᵢ eⁱ)
= ∑ⱼ Vʲ eⱼ
因而：
∑ᵢ gⱼᵢ eⁱ
= gⱼ₁ e¹ + gⱼ₂ e²
= eⱼ
當j = 1 時，
g₁₁ e¹ + g₁₂ e² = e₁
當j = 2 時，
g₂₁ e¹ + g₂₂ e² = e₂
其中，g₁₁、g₁₂、g₂₁、g₂₂ 都是矩陣G 的純量分量，而，e₁、e₂、e¹、e² 都是向量。
文字敘述當於：矩陣G 的第j「槓」(row)、乘以「樁」矩陣[eⁱ]、可得到「樁」矩陣[eⱼ] 的第j 個分量eⱼ；其中，矩陣G 的「槓」次、以j 表示。
還原為二矩陣之相乘、可表示為：
G ⋅ [eⁱ] = [eⱼ]
此即是：
[eⁱ] = G⁻¹ ⋅ [eⱼ]
其中，[eⁱ]、[eⱼ] 都是以向量為元素而構成的矩陣。
據此、可得：
eⁱ = ∑ⱼ gⁱʲ eⱼ
當i = 1 時，
e¹ = g¹¹ e₁ + g¹² e₂
當i = 2 時，
e² = g²¹ e₁ + g²² e₂
其中，g¹¹、g¹²、g²¹、g²² 都是逆矩陣G⁻¹ 的純量分量，而，e¹、e²、e₁、e₂ 都是向量。
文字敘述相當於：「樁」矩陣[eⁱ] 的第i 個分量eⁱ，等於逆矩陣G⁻¹ 的第i「槓」(row)、乘以「樁」矩陣[eⱼ]；其中，逆矩陣G⁻¹ 的「槓」次、以i 表示。
如上兩組參照系、好比照鏡者與鏡中人、互為「對偶」(dual)。
因而，在直角座標系(x, y, z) 內，前節的算式：
dP
= ∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy
= [1, 0, ∂f/∂x] dx + [0, 1, ∂f/∂y] dy
= eₓ dx + eᵧ dy
其中，eₓ、eᵧ 是為切空間中的協變座標基底向量，dx、dy 是其「對偶」、為餘切空間中的逆變基底向量。
而在柱面座標系(r, θ, z) 內，前節的算式：
dP
= ∂P/∂r dr + ∂P/∂θ dθ
= [1, 0, ∂f/∂r] dr + [0, r, ∂f/∂θ] dθ
= [1, 0, ∂f/∂r] dr + [0, 1, (1/r) ∂f/∂θ] r dθ
= (g₁ + g₃ ∂f/∂r) dr + (g₂ + g₃ (1/r) ∂f/∂θ) r dθ
= g₁ dr + g₂ r dθ + g₃ (∂f/∂r dr + ∂f/∂θ dθ)
其中，g₁ + g₃ ∂f/∂r、g₂ + g₃ (1/r) ∂f/∂θ 是為切空間中的協變座標基底向量，dr、r dθ 是其「對偶」、為餘切空間中的逆變基底向量。
