尋犀記
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如何求得座標基底向量的對偶？
如何求得座標基底向量的對偶？
前節提到，當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x¹ 方向之變化、為∂P/∂x¹，在x² 方向之變化、為∂P/∂x²；
前節提到，當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x¹ 方向之變化、為∂P/∂x¹，在x² 方向之變化、為∂P/∂x²；
想像空中的一條手帕，此手帕、是以向量形式P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示者。
想像空中的一條手帕，此手帕、是以向量形式P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示者。
倘若，定義Kronecker xi 為：
ξʲᵢ = ∂x̄ʲ/∂xⁱ ∂xⁱ/∂x̄ʲ
此定義僅適用於單一維度的座標轉換之情況，即，唯當x̄ʲ = fʲ(xʲ) 時，其座標對座標偏微分的「正」「逆」函數相乘才會恆等於1。
倘若，定義Kronecker xi 為：
ξʲᵢ = ∂x̄ʲ/∂xⁱ ∂xⁱ/∂x̄ʲ
此定義僅適用於單一維度的座標轉換之情況，即，唯當x̄ʲ = fʲ(xʲ) 時，其座標對座標偏微分的「正」「逆」函數相乘才會恆等於1。
前節提到，逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」。
該敘述、和Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄² 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」。
該敘述、和Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄² 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，協變因子轉換時、需乘以J。
該敘述、和gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，協變因子轉換時、需乘以J。
該敘述、和gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
先從熟悉的直角交叉 (正交) 的x、y 二軸開始。
先從熟悉的直角交叉 (正交) 的x、y 二軸開始。
十八世紀的哲學家Immanuel Kant (1724~1804)) 曾經説過，自己乃被David Hume (1711~1776) 的經驗哲學從「教義信條主義的酣睡」(dogmatic slumbers) 中喚醒，自此「覺醒」之後，Kant 便開始著手、嘗試結合傳統的理性主義、和英國的經驗主義之各
十八世紀的哲學家Immanuel Kant (1724~1804)) 曾經説過，自己乃被David Hume (1711~1776) 的經驗哲學從「教義信條主義的酣睡」(dogmatic slumbers) 中喚醒，自此「覺醒」之後，Kant 便開始著手、嘗試結合傳統的理性主義、和英國的經驗主義之各
前篇提到，任意向量 V⃗ 可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
前篇提到，任意向量 V⃗ 可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差，這也就是，把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上，然後求它們的差。
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差，這也就是，把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上，然後求它們的差。
在二維的歐式平面 (Euclidean plane) 上，沿著曲線座標 (curvilinear coordinates) 之方向，有二個基底向量 (basis vectors) g⃗₁、和 g⃗₂，它們構成了微小的曲面塊 (surface patch)，而度量張量 (metric tensor)
在二維的歐式平面 (Euclidean plane) 上，沿著曲線座標 (curvilinear coordinates) 之方向，有二個基底向量 (basis vectors) g⃗₁、和 g⃗₂，它們構成了微小的曲面塊 (surface patch)，而度量張量 (metric tensor)
前面幾篇一直反覆提到，奠定幾何磐石的畢氏定理：
x² + y² = r²
可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
前面幾篇一直反覆提到，奠定幾何磐石的畢氏定理：
x² + y² = r²
可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
與偏導數 (partial derivative) 不同，全導數 (total derivative) 乃根據所有分量 (而非僅是單一分量) 之微小移動、所產生的各別對於函數數值的貢獻，來逼近函數本身的「值」之微小改變。
與偏導數 (partial derivative) 不同，全導數 (total derivative) 乃根據所有分量 (而非僅是單一分量) 之微小移動、所產生的各別對於函數數值的貢獻，來逼近函數本身的「值」之微小改變。
在二維平面上，連續變動的點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 可以統稱為 (x, y)。
(x, y) 代表：沿著 x 軸向量 x̂ 之方向、行進了 x 的距離，再沿著 y 軸向量 ŷ 之方向、行進了 x 的距離，將兩者加總，所對應到的平面上的某個點。
在二維平面上，連續變動的點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 可以統稱為 (x, y)。
(x, y) 代表：沿著 x 軸向量 x̂ 之方向、行進了 x 的距離，再沿著 y 軸向量 ŷ 之方向、行進了 x 的距離，將兩者加總，所對應到的平面上的某個點。
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
這就是著名的畢氏定理，可以表示為：
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
這就是著名的畢氏定理，可以表示為：
遞迴 (recurrence) 即是不停地返回自己的意思。
遞 = 依次；迴 = 返回。
遞迴 (recurrence) 即是不停地返回自己的意思。
遞 = 依次；迴 = 返回。
Syracuse 位於現今義大利半島南端海外、西西里島的東南海岸，是當時大希臘的自治殖民地。
Syracuse 位於現今義大利半島南端海外、西西里島的東南海岸，是當時大希臘的自治殖民地。
近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了：早在Pythagoras 的一千多年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。
近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了：早在Pythagoras 的一千多年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。
如何求得座標基底向量的對偶？
如何求得座標基底向量的對偶？
前節提到，當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x¹ 方向之變化、為∂P/∂x¹，在x² 方向之變化、為∂P/∂x²；
前節提到，當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x¹ 方向之變化、為∂P/∂x¹，在x² 方向之變化、為∂P/∂x²；
想像空中的一條手帕，此手帕、是以向量形式P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示者。
想像空中的一條手帕，此手帕、是以向量形式P(x, y) = [x, y, f(x, y)] 表示者。
倘若，定義Kronecker xi 為：
ξʲᵢ = ∂x̄ʲ/∂xⁱ ∂xⁱ/∂x̄ʲ
此定義僅適用於單一維度的座標轉換之情況，即，唯當x̄ʲ = fʲ(xʲ) 時，其座標對座標偏微分的「正」「逆」函數相乘才會恆等於1。
倘若，定義Kronecker xi 為：
ξʲᵢ = ∂x̄ʲ/∂xⁱ ∂xⁱ/∂x̄ʲ
此定義僅適用於單一維度的座標轉換之情況，即，唯當x̄ʲ = fʲ(xʲ) 時，其座標對座標偏微分的「正」「逆」函數相乘才會恆等於1。
前節提到，逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」。
該敘述、和Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄² 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」。
該敘述、和Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄² 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，協變因子轉換時、需乘以J。
該敘述、和gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
前節提到，協變因子轉換時、需乘以J。
該敘述、和gᵢ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ 完全等價；其中，i 是新座標指標，j 是舊座標指標。
先從熟悉的直角交叉 (正交) 的x、y 二軸開始。
先從熟悉的直角交叉 (正交) 的x、y 二軸開始。
十八世紀的哲學家Immanuel Kant (1724~1804)) 曾經説過，自己乃被David Hume (1711~1776) 的經驗哲學從「教義信條主義的酣睡」(dogmatic slumbers) 中喚醒，自此「覺醒」之後，Kant 便開始著手、嘗試結合傳統的理性主義、和英國的經驗主義之各
十八世紀的哲學家Immanuel Kant (1724~1804)) 曾經説過，自己乃被David Hume (1711~1776) 的經驗哲學從「教義信條主義的酣睡」(dogmatic slumbers) 中喚醒，自此「覺醒」之後，Kant 便開始著手、嘗試結合傳統的理性主義、和英國的經驗主義之各
前篇提到，任意向量 V⃗ 可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
前篇提到，任意向量 V⃗ 可以描述為一組基底向量之組成：
V⃗ = V¹ g⃗₁ + V² g⃗₂
這可以簡寫為：
V⃗ = Vᵐ g⃗ₘ
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差，這也就是，把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上，然後求它們的差。
在平坦的歐式平面 (flat Euclidean plane) 上，方向導數 (directional derivative) 被定義為、兩個鄰近的點的方向向量之差，這也就是，把一個向量、平行輸運 (parallel transport) 到另一個向量的原點之上，然後求它們的差。
在二維的歐式平面 (Euclidean plane) 上，沿著曲線座標 (curvilinear coordinates) 之方向，有二個基底向量 (basis vectors) g⃗₁、和 g⃗₂，它們構成了微小的曲面塊 (surface patch)，而度量張量 (metric tensor)
在二維的歐式平面 (Euclidean plane) 上，沿著曲線座標 (curvilinear coordinates) 之方向，有二個基底向量 (basis vectors) g⃗₁、和 g⃗₂，它們構成了微小的曲面塊 (surface patch)，而度量張量 (metric tensor)
前面幾篇一直反覆提到，奠定幾何磐石的畢氏定理：
x² + y² = r²
可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
前面幾篇一直反覆提到，奠定幾何磐石的畢氏定理：
x² + y² = r²
可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
與偏導數 (partial derivative) 不同，全導數 (total derivative) 乃根據所有分量 (而非僅是單一分量) 之微小移動、所產生的各別對於函數數值的貢獻，來逼近函數本身的「值」之微小改變。
與偏導數 (partial derivative) 不同，全導數 (total derivative) 乃根據所有分量 (而非僅是單一分量) 之微小移動、所產生的各別對於函數數值的貢獻，來逼近函數本身的「值」之微小改變。
在二維平面上，連續變動的點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 可以統稱為 (x, y)。
(x, y) 代表：沿著 x 軸向量 x̂ 之方向、行進了 x 的距離，再沿著 y 軸向量 ŷ 之方向、行進了 x 的距離，將兩者加總，所對應到的平面上的某個點。
在二維平面上，連續變動的點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃)⋯ 可以統稱為 (x, y)。
(x, y) 代表：沿著 x 軸向量 x̂ 之方向、行進了 x 的距離，再沿著 y 軸向量 ŷ 之方向、行進了 x 的距離，將兩者加總，所對應到的平面上的某個點。
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
這就是著名的畢氏定理，可以表示為：
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
這就是著名的畢氏定理，可以表示為：
遞迴 (recurrence) 即是不停地返回自己的意思。
遞 = 依次；迴 = 返回。
遞迴 (recurrence) 即是不停地返回自己的意思。
遞 = 依次；迴 = 返回。
Syracuse 位於現今義大利半島南端海外、西西里島的東南海岸，是當時大希臘的自治殖民地。
Syracuse 位於現今義大利半島南端海外、西西里島的東南海岸，是當時大希臘的自治殖民地。
近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了：早在Pythagoras 的一千多年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。
近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了：早在Pythagoras 的一千多年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。