🧭 導讀：積分前，先學會「看形狀」
在工程裡，二重積分真正難的不是算，而是：
▶︎ 積分範圍怎麼訂？
▶︎ 先對 x 積還是先對 y 積？工程師的第一步永遠是：
👉 先看區域長什麼樣，再決定掃描方式。
🧩 一、直角座標下的二重積分基本形式
在區域 R 上的總量：
∬ᴿ f(x, y) dA
其中面積微元：
dA = dx·dy
🧭 二、兩種掃描寫法（先掃 x 或先掃 y）
✅ 若先對 x 積分（內層 x、外層 y）
想像「用垂直線」掃過整個區域：
∫ᵧ₌ₐᵇ [ ∫ₓ₌g₁(y)ᵍ₂(y) f(x, y) dx ] dy
工程直覺：
• 外層 y：決定你掃到哪一條水平位置
• 內層 x：描述該位置上 x 的可行範圍
✅ 若先對 y 積分（內層 y、外層 x）
想像「用水平線」掃過整個區域：
∫ₓ₌cᵈ [ ∫ᵧ₌h₁(x)ʰ₂(x) f(x, y) dy ] dx
工程直覺：
• 外層 x：決定你掃到哪一條垂直位置
• 內層 y：描述該位置上 y 的可行範圍
🔬 三、最常見的矩形區域（上下限是常數）
若區域是矩形：
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
則可直接寫：
∬ᴿ f(x, y) dA
= ∫ᵧ₌cᵈ [ ∫ₓ₌aᵇ f(x, y) dx ] dy
工程直覺：
✔ 上下限不會跟著變，最單純。
🛰️ 四、常見非矩形區域（上下限是函數）
很多工程區域不是矩形，會像這樣：
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ x ≤ y
這代表：
• y 先決定在 0 到 1 的哪一層
• 每一層的 x 範圍從 0 到 y（會變）
因此寫成：
∫ᵧ₌₀¹ [ ∫ₓ₌₀ʸ f(x, y) dx ] dy
工程直覺：
👉 內層上下限常常是「函數」，因為掃描線的長度會跟位置改變。
🧠 五、工程師實戰流程（最重要）
1️⃣ 先畫出區域 R（草圖即可）
2️⃣ 決定掃描方向（垂直掃 or 水平掃）
3️⃣ 寫內層上下限（掃描線的範圍）
4️⃣ 寫外層上下限（掃描到哪裡停止）
5️⃣ 最後才做計算
🧾 六、工程版一句話總結
直角座標二重積分的關鍵在於：
先看區域，再寫積分。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔︎ 積分順序可交換（只要區域能完整掃過）
✔︎ 上下限來自幾何形狀（不是背公式）
✔︎ 先畫圖比先算重要（先範圍，後計算）
✏️ 八、數學練習題：直角座標下寫出積分式（解答緊貼題目）
區域 R：
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ y
分佈函數：
f(x, y) = x
（1）寫出二重積分式
✅ 解答：
總量 = ∬ᴿ x dA
= ∫ᵧ₌₀² [ ∫ₓ₌₀ʸ x dx ] dy
（2）計算總量
✅ 解答：
先對 x 積分：
∫ₓ₌₀ʸ x dx = [ ½x² ]₀ʸ = ½y²
再對 y 積分：
∫ᵧ₌₀² ½y² dy
= ½[ y³/3 ]₀²
= ½(8/3)
= 4/3
因此：
👉 總量 = 4/3
🎯 本題想建立的工程直覺
✔ 面不是一次算完，是「掃描累積」
✔ 範圍不是硬背，是從區域形狀讀出來
✔ 寫對上下限，就已完成一半工程分析
