🧭 導讀：當變數很多時，靠一個導數不夠
在前面單元中：
▪️ 偏微分 → 單一影響
▪️ 全微分 → 加總影響但若系統有：
▪️ 多個輸入
▪️ 多個輸出
工程師需要一張：
👉 影響關係對照表
這張表就是：Jacobian 矩陣
🧩 一、Jacobian 的數學形式（Unicode）
若系統為：
y₁ = f₁(x₁, x₂, …, xₙ)
y₂ = f₂(x₁, x₂, …, xₙ)
…
yₘ = fₘ(x₁, x₂, …, xₙ)
Jacobian 定義為：
J =
[ ∂f₁/∂x₁ ∂f₁/∂x₂ … ∂f₁/∂xₙ
∂f₂/∂x₁ ∂f₂/∂x₂ … ∂f₂/∂xₙ
…
∂fₘ/∂x₁ ∂fₘ/∂x₂ … ∂fₘ/∂xₙ ]
🔬 二、物理與工程意義
每一個元素代表：
▪️ 某一輸入對某一輸出的影響程度
整個矩陣代表：
▶︎ 系統耦合結構
▶︎ 變數間關係強弱
⚙️ 三、系統耦合的判斷
若：
▪️ 非對角元素很小
代表：
▶︎ 變數間耦合弱
若：
▪️ 非對角元素很大
代表：
▶︎ 強耦合系統
🧠 四、敏感度分析
Jacobian 元素大小：
▪️ 大 → 高敏感
▪️ 小 → 低敏感
工程用途：
▶︎ 找關鍵參數
▶︎ 簡化模型
🛰️ 五、工程實例
機器人運動學：
▪️ 關節速度 → 末端速度
電力系統：
▪️ 負載變化 → 電壓變化
通訊系統：
▪️ 參數變動 → SNR 變化
🧾 六、工程版一句話總結
Jacobian 是多變數系統的影響力地圖。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔︎ 看矩陣就看耦合
✔︎ 大小代表敏感度
✔︎ 是高階建模核心
✏️ 八、數學練習題：Jacobian 與系統耦合
考慮系統：
y₁ = x₁ + 2x₂
y₂ = 3x₁ + x₂
（1）求 Jacobian 矩陣 J
👉 解析：
對 y₁、y₂ 分別對 x₁、x₂ 取偏微分：
∂y₁/∂x₁ = 1
∂y₁/∂x₂ = 2
∂y₂/∂x₁ = 3
∂y₂/∂x₂ = 1
因此 Jacobian 為：
J =
[ 1 2 3 1 ]
（2）判斷哪個輸入對 y₁ 影響較大
👉 解析：
觀察 y₁ 對各輸入的偏微分：
∂y₁/∂x₁ = 1
∂y₁/∂x₂ = 2
因為 2 > 1，表示：
👉 x₂ 對 y₁ 的影響大於 x₁
（3）判斷此系統是否為強耦合系統
👉 解析：
Jacobian 中：
對角元素：1、1
非對角元素：2、3
當非對角元素與對角元素大小相近或更大時，代表：
👉 輸入彼此之間互相影響明顯
👉 系統存在顯著交叉作用
因此判定：
👉 此系統為 強耦合系統
🎯 本題想建立的工程直覺
✔ Jacobian 看的是「整體互相影響」
✔ 非只看單一導數
✔ 是 MIMO 系統分析的核心工具
