🧭 導讀：工程世界是三維的
前面單元：
▪ 一重積分 → 線上的累積
▪ 二重積分 → 面上的累積但真實工程中：
▪ 材料有厚度
▪ 場有空間分佈
▪ 能量存在於體積內
因此需要：
∭（三重積分）
🧩 一、三重積分的基本形式（Unicode）
若某物理量在空間中的分佈為：
f(x, y, z)
在體積 V 上的三重積分：
∭_V f(x, y, z) dV
體積元素：
dV = dx dy dz
🔬 二、物理意義
三重積分代表：
▪ 每一個微小體積中的量
▪ 全部加總
工程語言：
▶ 把整個空間切成小方塊
▶ 每一塊的貢獻全部累積
⚙️ 三、常見工程量
▪ 體積
▪ 質量
▪ 能量
▪ 電荷
▪ 熱量
🛰️ 四、工程實例
材料密度 ρ(x, y, z) → 總質量
M = ∭_V ρ(x, y, z) dV
能量密度 u(x, y, z) → 總能量
E = ∭_V u(x, y, z) dV
電荷密度 ρ_q(x, y, z) → 總電荷
Q = ∭_V ρ_q(x, y, z) dV
🧠 五、與二重積分差異
二重積分：
∬ → 面累積
三重積分：
∭ → 體累積
🧾 六、工程版一句話總結
三重積分 = 在三維空間中做累積。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 空間分佈
✔ 小體積累加
✔ 求總量
📝 練習題
✅ 練習題：立方體內的體積積分
計算下列三重積分：
∭_V 1 dV
其中 V 為：
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ z ≤ 3
🔍 解析
🧠 第一步：理解物理意義
被積函數為：
1
代表：
每單位體積貢獻 1
因此三重積分結果就是：
👉 體積大小
✏️ 第二步：寫成疊代積分
∭_V 1 dV
= ∫(x=0→1) ∫(y=0→2) ∫(z=0→3) 1 dz dy dx
🧮 第三步：逐層積分
先對 z：
∫(0→3) 1 dz = 3
再對 y：
∫(0→2) 3 dy = 6
再對 x：
∫(0→1) 6 dx = 6
✅ 最終答案
∭_V 1 dV = 6
🧠 工程直覺總結
✔ 若 f = 1 → 求體積
✔ 若 f = 密度 → 求總量
✔ 三重積分本質：加總空間中的所有小貢獻
