🧭 導讀：工程錯誤常常不是算錯，而是「算錯地方」
在二重積分中：
▪️ 積分函數很重要
▪️ 積分區域更重要因為積分做的事情是：
👉 把「某個區域內」的量全部加起來
若區域畫錯：
▪️ 少算 → 低估
▪️ 多算 → 高估
🧩 一、什麼是積分區域？
積分區域 R 表示：
▪️ 你要累積的範圍
▪️ 哪些點要算
▪️ 哪些點不要算
數學表示：
∬ᴿ f(x, y) dA
其中：
dA = dx·dy
📐 二、邊界條件的角色
邊界條件決定：
▪️ x 從哪到哪
▪️ y 從哪到哪
例如：
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
表示矩形區域：
∬ᴿ f(x, y) dA
= ∫ᵧ₌cᵈ [ ∫ₓ₌aᵇ f(x, y) dx ] dy
🔬 三、工程直覺
積分就像在塗顏色：
▪️ 塗到的地方 → 被算
▪️ 沒塗到的地方 → 不算
邊界條件就是畫筆能畫到的邊界。
⚙️ 四、工程實例
熱分析：
▪️ 只計算晶片面積
▪️ 不計算封裝外殼
電場分析：
▪️ 只計算導體表面
▪️ 不計算空氣區域
🧠 五、常見錯誤
▪️ 忘記限制範圍
▪️ 上下限顛倒
▪️ 少畫圖直接算
🧾 六、工程版一句話總結
先畫對區域，再談積分。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 一定先畫圖
✔ 再寫上下限
✔ 最後才積分
✏️ 八、數學練習題：積分區域與邊界條件
考慮平面區域 R 為：
0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 3
分佈函數：
f(x, y) = x + y
（1）寫出二重積分式
✅ 解答：
∬ᴿ (x + y) dA
= ∫ᵧ₌₀³ [ ∫ₓ₌₀² (x + y) dx ] dy
（2）計算總量
✅ 解答：
先對 x 積分：
∫ₓ₌₀² (x + y) dx
= [ ½x² + yx ]₀²
= 2 + 2y
再對 y 積分：
∫ᵧ₌₀³ (2 + 2y) dy
= [ 2y + y² ]₀³
= 6 + 9 = 15
因此：
👉 總量 = 15
（3）工程思考題
若只計算區域：
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 3
總量會變大還是變小？
✅ 解答：
因為計算面積變小，
👉 總量一定變小
🎯 本題想建立的工程直覺
✔ 積分結果高度依賴區域
✔ 邊界錯，答案一定錯
✔ 工程先看幾何，再做數學
