🧭 導讀：不是公式複雜，而是選座標更聰明
在前面的直角座標二重積分中，我們通常寫成：
∬_R f(x, y) dA
或∬_R f(x, y) dx dy
但當積分區域本身具有：
✔ 圓形
✔ 環形
✔ 放射狀對稱
若仍使用直角座標：
→ 邊界會變得非常複雜
改用極座標後：
→ 區域簡化
→ 上下限變成常數
→ 計算量大幅下降
🧩 一、極座標的變換與面積因子（Unicode）
x = r cosθ
y = r sinθ
直角座標的面積元素：
dA = dx dy
在極座標下變為：
dA = r dr dθ
幾何意義：
微小面積 ≈ (弧長 r dθ) × (徑向厚度 dr)
📐 二、何時用極座標最有效？
以下情況幾乎優先考慮極座標：
✔ 圓盤、圓環
✔ 關於原點對稱
✔ 函數含 x² + y²
因為：
x² + y² = r²
可直接簡化為 r²
🔍 三、對稱性如何簡化邊界
直角座標圓盤邊界：
−√(R² − x²) ≤ y ≤ √(R² − x²)
極座標表示：
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ R
邊界由函數 → 常數
🧠 四、工程直覺實例
📊 1）圓盤面積
Area
= ∫(θ=0→2π) ∫(r=0→R) r dr dθ
拆開：
= ∫(0→2π) dθ × ∫(0→R) r dr
⚡ 2）含 x² + y² 的能量型積分
若
f(x, y) = g(x² + y²)
轉換後：
f = g(r²)
二重積分變為：
∫(θ=a→b) ∫(r=r₁→r₂) g(r²) · r dr dθ
⚙️ 五、工程應用場景
✔ 圓柱截面質量
✔ 軸對稱熱能分布
✔ 天線輻射功率
✔ 電磁場能量積分
🧾 工程版通用公式（Unicode）
∬_R f(x, y) dx dy
= ∫(θ=a→b) ∫(r=r₁(θ)→r₂(θ))
f(r cosθ, r sinθ) · r dr dθ
🧠 本單元核心直覺
✔ 看區域形狀
✔ 看函數是否含 x² + y²
✔ 選對座標比硬算更重要
✅ 練習題：圓對稱能量積分
題目：
∬_R (x² + y²) dx dy
其中 R 為半徑為 2 的圓盤。
🧠 第一步：觀察結構（先不用算）
被積函數：
x² + y²
而圓形區域也以原點為中心。
👉 這是標準圓對稱問題
👉 優先使用極座標
🔁 第二步：座標轉換
x = r cosθ
y = r sinθ
因此：
x² + y² = r²
面積元素：
dA = r dr dθ
📐 第三步：設定積分範圍
半徑為 2 的圓盤：
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2π
✏️ 第四步：建立極座標積分式
原式：
∬_R (x² + y²) dx dy
轉為：
∫(θ=0→2π) ∫(r=0→2) r² · r dr dθ
整理：
∫(0→2π) ∫(0→2) r³ dr dθ
🧮 第五步：先對 r 積分
∫(0→2) r³ dr
= [ r⁴ / 4 ]₀²
= 16 / 4 = 4
🔄 第六步：再對 θ 積分
∫(0→2π) 4 dθ
= 4θ |₀²π
= 8π
✅ 最終答案
∬_R (x² + y²) dx dy = 8π
🧠 工程直覺總結
✔ x² + y² 代表「距離平方」
✔ 對整個圓盤做積分 → 累積所有距離平方能量
✔ 半徑越大 → r³ 成長很快 → 能量集中在外圈
👉 這類結構常出現在：
電場能量、轉動慣量、熱分布、影像能量計算。
