📌 導讀：穩定性是動態系統真正的大問題
工程上的穩定性代表：
👉 系統輸出不會無限放大
👉 系統會逐漸回到平衡
👉 暫態最後會消失
在 s-domain（拉普拉斯域），穩定性可以用「看極點位置」快速判斷。
🧠 一、s-domain 的核心對象：傳遞函數
工程常用表示式：
G(s) = N(s) / D(s)
其中：
N(s)：分子多項式
D(s)：分母多項式
🧠 二、什麼是極點？
令分母為 0：
D(s) = 0
所得到的 s 值稱為：
👉 極點（poles）
🧠 三、最重要的穩定性規則
✅ 穩定
所有極點滿足：
Re(s) < 0
→ 極點全部在左半平面
⚠️ 臨界穩定
存在極點：
Re(s) = 0
例如：
s = 0
s = ±jω
❌ 不穩定
存在任一極點：
Re(s) > 0
→ 右半平面出現極點
🧠 四、為什麼極點決定穩定？
每一個極點對應一個自然響應項：
e^(s·t)
若：
s = −a（a > 0）
則：
e^(−a·t) → 0
代表：衰減
若：
s = +a
則：
e^(a·t) → ∞
代表：發散
若：
s = ±jω
則：
e^(jωt) = cos(ωt) + j·sin(ωt)
代表：永久振盪
🧠 五、典型系統範例
一階系統：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
拉普拉斯轉換後：
(τ·s + 1)·Y(s) = K·U(s)
因此：
G(s) = Y(s) / U(s) = K / (τ·s + 1)
極點：
τ·s + 1 = 0
s = −1/τ
因為 −1/τ < 0
👉 一階系統必為穩定
🧠 六、二階系統極點型態
標準二階：
d²y/dt² + 2ζωₙ·dy/dt + ωₙ²·y = 0
其特徵方程：
s² + 2ζωₙ·s + ωₙ² = 0
解為：
s = −ζωₙ ± j·ωₙ·√(1 − ζ²)
ζ > 0
Re(s) < 0 → 穩定
ζ = 0
s = ±jωₙ → 永久振盪
ζ < 0
Re(s) > 0 → 不穩定
🧠 七、穩定區域直覺圖
Im
|
| 不穩定 (Re>0)
|
------------------------ Re
|
| 穩定 (Re<0)
|
________________________________________
📌 一句話記住
👉 看極點
👉 全在左半平面 → 穩定
👉 有在右半平面 → 不穩
🧮 整合型數學題（含解析）
已知系統：
G(s) = 4 / [ s·(s + 2)·(s + 8) ]
(1) 求極點
(2) 判斷穩定性
(3) 解釋每個極點的物理意義
✅ 解析
(1) 分母 = 0
s·(s + 2)·(s + 8) = 0
得到：
s = 0
s = −2
s = −8
(2) 穩定性判斷
存在 s = 0
Re(s) = 0
👉 臨界穩定（非完全穩定）
(3) 工程意義
s = −8 → 衰減最快
s = −2 → 衰減較慢
s = 0 → 不衰減（積分特性）
🎯 工程總結
✔ 穩定性 = 極點位置問題
✔ 不必解微分方程
✔ 在 s-domain 一眼可判
