📌 導讀：為什麼工程師一定要懂傅立葉轉換？
在工程領域中，不論是通訊、雷達、音訊、影像、控制或振動分析，
我們真正關心的往往不是「波形長什麼樣」，而是：
👉 訊號裡包含哪些頻率？
👉 各頻率的能量大小是多少？
👉 哪些頻率是資訊？哪些是雜訊？
傅立葉轉換（Fourier Transform）提供了一把鑰匙，
讓工程師能把時間世界的訊號，轉成頻率世界的地圖。
🔹 一、核心直覺：所有訊號都是頻率的疊加
任何複雜波形，都可以視為：
👉 不同頻率正弦波的加總
就像白光可分解成各種顏色，
時間訊號 x(t) 也可分解成許多頻率分量。
🔹 二、傅立葉轉換在做什麼？
數學形式：
X(ω) = ∫ x(t) · e^(−jωt) dt
工程直覺：
✔ 用每一個頻率 ω 當作「探測器」
✔ 檢查該頻率在訊號中出現的強度與相位
✔ 組合成頻譜 X(ω)
🔹 三、頻域能告訴我們什麼？
頻譜可以直接回答：
✔ 哪些頻率最強
✔ 能量集中在哪裡
✔ 是否存在高頻雜訊
這些資訊在時域往往不容易看出來。
🔹 四、時間與頻率的對偶關係
重要直覺：
👉 訊號越短 → 頻譜越寬
👉 訊號越平穩 → 頻譜越窄
代表時間解析度與頻率解析度之間必須取捨。
🔹 五、能量守恆觀點（帕塞瓦爾定理）
∫ |x(t)|² dt = (1 / 2π) ∫ |X(ω)|² dω
工程意義：
✔ 傅立葉轉換不會憑空改變能量
✔ 只是把能量「搬家」到頻率軸
🔹 六、工程應用場景
✔ 濾波器設計
✔ 通道頻寬配置
✔ 雜訊分析
✔ 訊號壓縮
✔ 振動與共振診斷
📌 一句話記住
傅立葉轉換 = 把時間世界的訊號，用頻率世界重新表達。
🧮 整合型實務數學題（含解析）
給定訊號：
x(t) = 2·cos(5t) + cos(3t)
(1) 求 X(ω)
(2) 說明頻譜結構
(3) 哪些頻率存在？
(4) 若加入雜訊 0.1·cos(20t)，頻譜如何改變？
✅ 解析
（1）基本對應：
cos(ω₀t) ↔ π[δ(ω−ω₀) + δ(ω+ω₀)]
因此：
X(ω) = π[2δ(ω−5) + 2δ(ω+5)]
+ π[δ(ω−3) + δ(ω+3)]
（2）頻譜結構
由四個尖峰組成。
（3）存在頻率
ω = ±3、±5
（4）加入雜訊後
多出 ±20 的尖峰，幅度為 0.1π。
🎯 工程收斂
✔ 傅立葉轉換提供頻率視角
✔ 頻譜顯示能量位置
✔ 雜訊在頻域中一眼可辨
✔ 是濾波與通訊設計的基礎工具
