投資備忘錄－買到「明牌」就可以賺大錢嗎？--「資訊理論」與「凱利準則」在投資上之應用(下)

上個月的投資備忘錄，我們先就投資的本質：「同時權衡風險與報酬」，闡述我們一直以來所想強調的，「風險」具有隱藏性及無法量化的特性。這個月，我們將從另外一個視角來說明我們的團隊在面對「到底該買多少張，才是最適當？」這個重要卻又困難的環節，是如何在風險與報酬之間取得適當的平衡。

就如我們上篇所言，以權衡風險與報酬來定義投資，現代投資學用波動來度量風險的方法下，有關「該買多少張」的問題上並無法給投資人適當的指引。若用另一種角度來看投資，亦即把投資看做是一種蒐集訊息再予加工的流程，卻「意外」的在這個難題上可以給我們有用的方針！之所稱為意外，是因為這個發想是源自於與金融毫不相干的資訊科技業。

回顧歷史，這兩種不同思維進路，在時間上竟有的巧合之處！在金融領域，前述現代投資學啟發於1950年代，也就這大約這個時候(1948年)，在科技領域，劃時代的「資訊理論(information theory)」橫空出世，此理論至今天仍深深的主導著人類有線與無線通訊技術發展。

人類懂得使用電報、電話來傳遞訊息，至1950年代已歷經一、兩百年，只是過去這麼長的一段時間，人們對於電纜上傳遞的「訊息」到底是什麼「東西」？（是物質？還是能量？）一直沒有說明白。夏農(Claude Elwood Shannon)於1948年發表：『通訊的數學理論』(A Mathematical Theory of Communication)，將訊息定義為：消除不確定性的能力，且與意義無關。而這個不確定性可以用訊息熵(information entropy)來度量。從此開拓了人類處理訊息方法的全新領域，近代無論有線或無線的通訊技術突發猛進，都是奠基於夏農的理論，『科學美國人』雜誌，稱此論文是「訊息時代的大憲章」，夏農則被尊稱為「資訊理論之父」，喻為繼愛因斯坦之後，影響近代世界發展最深遠的科學家。

研究員經由研讀報章雜誌或是拜訪公司帶回來的「訊息」即為原料，然而，「訊息」到底是什麼「東西」？它可以像一般製造業原料金銀銅鐵一樣可以秤重(度量)嗎？夏農的論文就是定義出訊息是什麼東西及找出度量的方法。把這兩個原本大不相同的領域聯結在一起的要歸功於夏農在貝爾實驗室的同事－約翰．凱利(John Larry Kelly, Jr.)。凱利由夏農的資訊理論得到靈感，原本想以「資訊理論與賭博」為題發表文章，但其高階主管對這個標題有所顧忌，最後凱利改成低調的「資訊率的新詮釋」(A new Interpretation of Information Rate)標題，夏農幫忙審閱內容，於1956年發表於《貝爾系統技術期刋》。

凱利初始發想是：一個擁有內線情報的賽馬賭徒，但這內線的消息不一定百分百準確(亦即不確定性)，他該如何利用這個資訊，才能讓這個消息發揮最大作用？換句話說，該如何下注，這個賭徒才能獲取最大報酬率？眼尖的讀者或許會發現，這個賭徒與股市投資者所面臨的該如何下注難題，是殊途同歸！每個股市投資者都一定有這樣的經驗，每天都會收到各種紛亂的訊息，利多利空並陳，面對這種不確定性，該買多少張股票呢？淺嚐即止(買一張)，果真大漲對總財富增加有限。勇往直前(“定孤支”(All in))，若不幸重挫，又會落得無法翻身。這極右與極左光譜的中間，該如何拿捏？

凱利的論文，數學運算複雜，但結論卻十分明瞭，凱利認為最適的下注比例是取決於兩個關鍵因子，主觀的獲勝機率，與客觀的賠率。這個公式(註一)被愛德華．索普(Throp)發揚光大，在21點賭局與股市中取得優異的成績，後人稱之為凱利準則或凱利公式！此方法也被稱作「賭你的信念」（Bidding your belief ）。龐士東在《決勝籌碼》一書中說：「賭你的信念」有一種浪漫的優雅，你要扮演快樂的傻瓜，無視賠率表的數字，根據自己的信念賭在每一匹馬身上。沒有比這更單純容易的事了。這是投資報酬率最高的辦法。

我們曾在《2020十一月投資備忘錄-我們如何賺錢？》中說明，我們團隊是如何依循凱利準則，進行下注資金比例的動態調整，我們也相信這樣的方法(而非現代投資學的方法)，才能在風險與報酬之間取得適當的平衡。或許有讀者發現這套方法，雖然稱之為公式，但充滿主觀判定，實際應用起來並不會像公式那麼機械化。(獲利機率在股市應用上就是「把握度」，自然是主觀；賠率在股市應用上則就是「安全邊際」，依舊是主觀。)

註一：凱利公式的數學式