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巴菲特與選擇權

身為波克夏股東，我這兩晚抽空看了股東會。
當然，我不只讀SEC上的財報，也讀巴菲特的公開信。
看到公司衍生商品的獲利時，不禁靈機一動，今天就來說一段有趣的往事吧。

之前在「巴菲特迷思和謊言」中，我提到了一些老巴的作為，大家可以先參考。
事實上，老巴還有個比較少人提起的操作，就是衍生商品。

1. 2002年，老巴在公開信的第15頁，提到衍生商品其實是「大規模殺傷性金融武器」，危險而致命。

可是在2007年的信中第16頁，老巴說他不只交易CDS(信用掉期)，也賣了一些put(賣權)。

2008年信中第18頁，巴菲特說他認為這些衍生商品被「錯誤定價」了，所以他才進行交易。

2. 我看過一個很有道理的說法，認為老巴不愧為價值投資大師，連衍生商品也能適用。
不過我覺得這樣講就有點膚淺了，你確定老巴是這樣想的嗎?

事實上，這一點都不哲學，反而很數學。

老巴的說法是，他認為BS模型的定價，對於長時間的波動率而言不合理，導致put被高估。
於是他就一直賣put，得到利率非常低的現金流，況且被行權的機率很低。(就算被行權，換算利率也不過6%，依然便宜。)

本來我在此篇想要講BS模型，但後來放棄自虐。
如果認真要說的話，我需要講Ito引理、隨機過程、測度轉換和布朗運動(問題所在)，我也沒這麼厲害啦。

反正，我們只要知道，老巴很聰明，他看到了BS定價模型的不合理性。

3. 再說幾個故事。
BS模型剛出來的時候，假設價格「連續」，可以用幾何布朗運動(GBM)解釋。
後來Merton加入了Poisson跳躍，也就是"jump", 進一步解釋價格的不連續，而BS也變成BSM模型。
問題是，GBM直接假設波動符合「常態分布」，而價格本身符合lognormal(對數常態分布)，真的是這樣嗎?

長期資本管理公司(LTCM)，就是忽略掉肥尾風險，結果遇到極端市場時繼續加注，最終破產。
Taleb更是發文批評過BSM，而且也在自己的書〈動態對沖〉中對delta做出相應修正。 (至於Taleb和Merton筆戰又是另外的故事了。)

我要說的是，BS(M)是很好用，因為它把隨機微分(SDE)變成好算一些的偏微分(PDE)，而且創造出風險中性定價的條件。
但是，它並非一個完美的模型。
至少，老巴是這麼宣稱並獲利的。

4. 老巴與期權的故事，我說完了，大家可能也都聽過。
不過，有人覺得巴菲特沒說實話。

Cornell一篇 Warren Buffett, Black-Scholes and the Valuation of Long-dated Options, 很認真的研究老巴的公開信。
他認為，老巴只提到BS的錯誤定價，卻沒有具體的指出是什麼錯誤。
於是他引用了BS模型，並逐一檢驗不同殖利率、無風險利率和波動率，最終得出結論。
他的意思是，巴菲特其實不是在批評BS本身，而是認為美國政府為了應付通膨而改變的利率，改變了尾端風險，導致標的價格並不符合BS中lognormal的假設，進而造成錯誤定價。

看到這邊，我覺得很有趣。
竟然有人想透過公開信，去回推老巴的心態，而且還反駁他。
另外值得一提的是，Cornell認為，只要「無風險利率」稍微改變(3.8%變5.8%)，整個put價值就會有顯著變動(11.1變0.45)。
換句話說，這應該有很大的運氣成分，也就是尾巴很肥。

5. 你以為到這邊就完了嗎?
學術界這麼愛「吵架」，狂徒又這麼愛「觀戰」，怎麼會放過不同意見呢?

2015年，Gupta等寫了篇The Buffett critique: volatility and long-dated options, 建構出一套應對波動率的方法，而且其中就有對Cornell的部分反對。
簡單來說，他們認為Cornell在低利環境中，假設無風險利率升到5.8%並不合理，不過殖利率部分倒是沒問題。
更重要的是，在這個基礎上，Gupta使用大市值股票、長期債券和短期國庫券，驗證波動率和持有時間的關係，並使用滾動真實波動率(取代短期隱含波動率)代入BS, 希望藉此算出更符合實際價值的長期期權價格。

後來他們找出了很多時間、收益和波動率的關聯性質，非常精彩。
但我覺得最讓人開心的，是他們驗證了自己的假說，成功把定價錯誤消滅掉，而且僅僅是改變了算法。

換句話說，老巴所謂BS的錯誤定價如果成立，那麼現在至少有一種解法供大家使用了。

或許老巴不像Taleb這麼高調，只是隱晦的提到BS有問題，所以大眾並沒有太注意。
至少，我就從未聽過身邊的人提到這段歷史。

不過現在仔細看，我覺得巴菲特和芒格很厲害。
當時，78歲和84歲的老人，頭腦這麼清楚，還能利用BS的瑕疵來獲利，建構出長期的現金流。
甚至很可能兩老都走了，期權都還沒全部到期，這真的很狂。

另一方面，據我所知目前並沒有真正取代BS的模型，都只是它的強化改良版本，進化幅度都不如從二叉轉成BS這麼大。
所以對於交易者而言，或許還是有機會藉由修正，得到一點獲利的機會。

人們常說巴菲特是「股」神，不過他對債券、CDS和期權的應用顯然也很熟練。
我覺得優秀投資者也該當如此，善用手邊的工具，找出自己最有利的切入點，然後等待時間逐漸將知識變現。
當然，誠如老巴說的，一般人投資ETF會是最好的選項，這點我也認同。

我們很難模仿老巴的行為，無法談到長期無抵押的合約或優先股票，旗下也沒有保險公司提供現金流開槓桿，但至少在態度上可以學習他。
理性思考、質疑權威、勇於認錯、熱愛學習，讓他的資產更上層樓，或許也能讓大家增加一些在市場上的競爭力。