風險是常態分布嗎?

常常有人說，風險呈常態分布，但真的是這樣嗎?
沒錯，看到我寫出這種題目，代表準備要「吵架」了。

不過最終考慮到篇幅和重點，我刪除了部分內容。
各位可以先參考〈華爾街物理學〉和〈股價、棉花與尼羅河密碼〉兩書內容。

1. 股價呈現常態分布。
2. 股價不是常態分布，波動才是。(而股價自己則是lognormal)
3. 波動不是常態分布，而是柯西分布。
4. 波動不是柯西分布，但屬於穩定分布。

如果大家知道這些理論演變的背景，那我開始了。

在Lévy processes in finance pricing financial derivatives一書中，作者列出一些股市指數的平均、標準差、偏度和峰度，如果用數學語言就是1階原動差(矩, moment)和2,3,4階主動差。從峰度不是3來看，我們知道股價並非常態分布。有興趣的朋友可以找原書或電子版本來看。

經過對比，人們發現股價波動既不像常態(高斯)分布這麼規矩，也不像柯西分布這麼狂野。
考慮到模型對不同峰度的適用性，萊維的穩定分布(Levy skew alpha-stable distribution)被許多民眾所接受。
畢竟不管是高斯、柯西或股價，我們都可以用不同的α來繪製。

我講得輕鬆，但有人很緊張。
如果價格波動不是常態分布，有很多金融理論都要遭殃了。
請問效率前緣用什麼來畫? 平均和「方差」。
請問期權BS的布朗運動用什麼函數來描述機率密度? 常態分布。

這時候江湖上的人性就顯現出來了。
有的人認為如果打破這個假設，那麼很多金融理論都無法繼續發展。
有的人認為，追求真相總比做出完美模型還重要。(包括Taleb和Mandelbrot等人)
我認為呢，管它怎麼發展，反正看大家辯論就是有趣。

雖然我也常在文章中提到Levy穩定，但本篇既然專講風險分布，那我就不隱瞞了。
我覺得，波動不是穩定分布。

先從尾端特性來說。
所謂肥尾，是比較不嚴謹的說法，實際上它屬於「重尾」的一種。
換句話說，「衰退」速度比指數還慢的，就是重尾。

有許多文章針對此點探討，一篇 Heavy Tailed Distributions in Finance: Reality or Myth? Amateurs Viewpoint 直接點出使用重尾分布的思考缺失。
我們很容易得出波動非常態分布的結論，但是尾端的「比例」和「衰退速度」並沒有直接關聯，因此我們不該直接認定它就是重尾分布。
作者陸續列出一些統計上的不合理性，例如時間段的取值、樣本數量、極值特性...也順便批評了其它如雙曲分布的缺點。
他的結論比較接近「混合式」的常態分佈或「Gamma分布」。

同一個作者，之後又寫了篇 No Stable Distributions in Finance, please!
簡單來說，當樣本數增加時，柯西分布和高斯分布的尾端變化不一樣。
因此如果要使用這類分布模型，α的值和樣本數n有關。
如果對應的α不穩定，我們就不能叫這類模型「穩定」分布了。

我不禁好奇，如果有學者宣稱某模型不合理，它是否能提出解決方案?
是創造一種新的分布函數，還是在既有的模型上修改，或是退回早期的領域重新研究?
也許參考歷史上的辯論，以及思考模型和現實世界的關聯，能幫助我們更清楚學界流派的演變。

例如，剛剛不是有人提到柯西分布嗎?
The Distribution of Returns 一文，作者比較了不同算法對不同模型的差異，也提到了柯西分布。
考量到了現實世界中的因素，它也探討了股價、殖利率和競標等情境。
不過，我覺得整篇最吸引人的，是作者提及馬可維茲、Mandelbrot、Fama、French等人，並指出一些金融模型的缺陷。
或許大家看完文章還是沒答案，但我想這類梳理可以讓我們至少知道，學術界發生了什麼。

妳可能會問，「狂徒你心中信什麼?」

別急，我想先說完穩定分布的特性。
常態分佈是穩定分布的一支，我們都知道怎麼算「變異數」。
所以金融界才會使用均值方差模型，來計算各種波動和收益或是幫期權定價，這些我以前也說過。
但是，除了常態分布，其它穩定分布並沒有變異數的概念，或說變異數等於無限，而且其它更高階的動差(矩)也是無限。

這下子，從尾端特性、衰退速度和無限動差的角度，穩定分布都不能完美解釋。
所以，學界提出了另一種模型，Tempered (調和)穩定分布，簡稱TSD，而這也是我曾經所相信的。
如果各位想看看調和穩定的過程和推導，可以參考 Tempered stable distributions and processes.
我認為TSD的意義是讓高階動差變「有限」，而且也能處理剛剛提到的「α不穩定」問題。
在Tempering stable processes中，作者討論了不同時間長短的穩定性值，也認為調和Levy過程兼具α穩定分布性質和高斯性質。

更進一步，Roh寫了一篇Why Tempered Stable Distribution?
基本上，它描述了不同模型的缺陷和後續修正，最後提到了TS家族，包括STS, CTS, GTS, MTS, NTS, RDTS和KRTS.
由於一些缺陷，他反對使用TS，但也在後續文章中說明，價格波動應該還沒跳脫「無限可分分布」(infinitely divisible distribution)的範疇。

不過據我所知，目前大家還沒有共識，我也不知道何種分布模型最能適用於價格波動。
只能說，或許真相是在TSD附近的某處。

另一方面，如此精細的考慮模型和尾端風險，不外乎是要獲利。
不難想見的，期權定價理論如影隨形。

例如 The Modified Tempered Stable Distribution, GARCH Models and Option Pricing 中，作者討論MTS和GARCH在定價中的應用。
GARCH或許是選擇權定價中繞不過去的議題，上承ARCH，下有CGARCH、TGARCH和包含跳躍的一些模型，現在和MTS結合後，作者認為MTS-GARCH比普通GARCH還能準確的訂出真實價格波動，這就是一個嘗試將理論結合的例子。

不過不要誤會，其它TS也能和GARCH合體，不限於MTS.
例如「帶槓桿效應的無窮純跳躍Levy過程期權定價」一文，作者將TS用在Levy過程中。
他們考慮到跳躍擴散和對於尾端特徵的描述，比較TS和RDTS(速降)、高斯、複合Poisson、VG(差異Gamma)等模型差異，最後認為TS家族成員最能準確定價。

同理，TS家族中的其它成員，也可以和既有定價模型結合。
各位有興趣的話可以自行查詢，我就不堆積文獻了。
故事說到這邊，告一段落。

我喜歡看理論的發展，所以覺得以上故事情節很精彩。
而對於交易者而言，可以想見到最後大家都是在拚算力和模型，看誰比較準確和快速，就像論文總是彼此挑戰和引用。

如果有人看了這篇文章，覺得風險很複雜、期權定價好難，那麼妳是對的。
市場環境就是這麼殘酷，沒在和妳客氣。

業界和學界，每年都有無數的專家在研究這些領域，但只有一部份會公開在網路上。
對我而言，這些資料已經多到讀不完了，因此我更可以想像第一線機構的「武器庫」有多豐富。
如果你是散戶，也可以先問問自己，憑什麼有能力打贏這些「職業玩家」?

在市場上，慢一步就等著被宰，專業機構也一樣。
就像我寫的文章，巴菲特的交易對手也是機構，照樣被占便宜。

回頭看看台灣期交所的期權定價試算網站 ，這類傳統BS算出來的結果，小數點還只有一位，或許可以讓散戶知道大概的價錢，但完全沒有競爭力。
然而綜觀台灣介紹選擇權的文章，能提到傳統BS模型已經算有良心了，更多人都在強調「風險有限獲利無限」。
對比之下，我們身為散戶，能接觸到的模型和知識確實差學界和業界許多，長期獲利的可能性自然很小。

或許風險的分布模型還沒有標準答案，但這不妨礙我們繼續追求更合理、精確的模型，也不會阻擋交易者應用到市場上。
雖然有時候理論發展是「進兩步退一步」，不過把這種過程當成歷史故事來看，對我們而言也有許多助益。

最後，我沒有相關專業背景，一切知識來自於網路和書籍，因此如果有說錯的地方，歡迎告知。
或許各位看完這篇文章，也會同意「知識是動態的」，這比標準答案有趣多了。

1. 華爾街的物理學

2. 股價、棉花與尼羅河密碼 (或是市場的錯誤行為)

3. Lévy processes in finance pricing financial derivatives

4. Heavy Tailed Distributions in Finance: Reality or Myth? Amateurs Viewpoint

5. No Stable Distributions in Finance, please!

6. The Distribution of Returns

7. Tempered stable distributions and processes

8. Tempering stable processes

9. Why Tempered Stable Distribution

10. The Modified Tempered Stable Distribution, GARCH Models and Option Pricing

11. 带杠杆效应的无穷纯跳跃Levy过程期权定价

12. Roh文章中提到的書: Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods