尋犀記 (2)

二、圓周率 (用畢氏定理逼近)

Syracuse 位於現今義大利半島南端海外、西西里島的東南海岸，是當時大希臘的自治殖民地。

遷徙至此的希臘殖民者、成為統治的精英階層，稱為 Gamoroi (εωμόροι)，而原本西西里的原住民 (Sicel natives)、稱為 Siculi、則被希臘殖民者取代，作為被壓迫階級、在這片土地上勞動。

公元前5 世紀初，加莫羅人 (Gamoroi) 被來自西西里西方的僭主Hippocrates of Gela 擊敗。Hippocrates 的目標，是征服整個西西里的東南部，建立一個以Gela 為首都的王國；在他執政的期間，Gela 乃成為西西里的希臘殖民地中最強大、繁榮的城市。

後來，流亡的加莫羅人 (Gamoroi) 因為支持Hippocrates 的繼任者Gelon，得以回到Syracuse。

Gelon 從公元前485 到478 年統治Syracuse，在他、和兄弟Hieron 的共同統治下，Syracuse 達到了權力和文化的輝煌頂峰；公元前480 年，當他在Himera 擊敗了迦太基人 (Carthaginian) 的大規模入侵後，他的霸主地位又更進一步地奠定。

幾年後，西西里面臨迦太基的反擊，但隨即被將軍Dionysius I 擊退，隨後，Dionysius I 便於公元前405 年獲得權力，作為僭主、統治著Syracuse，直到公元前367 年。

在Dionysius I 的統治下，Syracuse 成為所有希臘城市中、防禦最堅固的碉堡；它的海軍力量也大大地增強，成為地中海最強大的艦隊。

Corinthian Timoleon 結束了其後的內戰時期，並擊退迦太基的再次入侵，而重新整理西西里的政治事務 (344 ~ 336 BC)、引入溫和的寡頭政治。

公元前317 年，Agathocles 推翻此一統治，成為僭主，建立了敘拉古帝國，此帝國、在公元前289 年他去世時解體。

在隨後的混亂局勢中，Pyrrhus of Epirus 從迦太基的進一步侵犯中拯救了西西里，但當他離開西西里後，Mamertines 人，也就是原先花錢僱來的Campanian 傭兵，卻佔領了Messina 的要塞，而持續地騷擾Syracue 的居民，此時，Pyrrhus of Epirus 原來的將軍Hieron II 便帶兵將他們擊潰，他心懷感激的同胞、隨後擁立他為國王。

公元前264 年，Hieron II 再次發動攻擊，Mamertines 人於是向羅馬人求助。在羅馬軍隊的壓力下，Hieron II 只好在公元前263 年、與羅馬訂定條約，根據該條約，他將統治西西里島東南部、和遠至Tauromenium 的東海岸。

從那時起、直到他於公元前 215 年去世為止，他都一直對羅馬輸誠效忠，並在Punic 戰爭期間、提供人員和糧食的資助。但他為了防禦目的，保留了一支強大的艦隊，並聘請他著名的親戚Archimedes 建造一些巨大的起重機，這些起重機、可以將敵人的戰艦吊到半空中，然後重重地摔下、使戰艦在海面上粉碎，在後來羅馬戰艦圍攻Syracuse 期間，這些起重機發揮了重要的作用。

在公元前215 年，Hieron II 死後，Syracuse 遂成為迦太基的盟邦；而在公元前213 年、被羅馬人圍困，211 年、被羅馬人攻陷後，Syracuse 便成為羅馬帝國的省會之一。

* Archimedes 阿基米德 (c. 287 ~ 212/211 BC)

Archimedes 的父親是天文學家Phidias；Archimedes 在年輕時期，曾經到埃及遊學一段時間，但他一生的大部分時間、都在西西里島的希臘城邦Syracuse 度過，在那裡，他與國王，也是他遠房親戚的Hieron II 關係十分密切。

據說，國王Hieron II 獲得王權後，交給工匠一塊黃金、和一塊白銀，命令工匠完成以一定比例的金銀交錯打造的桂冠。

當工匠達成使命、將金銀桂冠呈交國王後，他起了疑心。國王懷疑工匠欺騙了他，因為工匠可以混入較多的白銀，而保留剩餘的黃金。

然而，國王並沒有辦法證明他的懷疑，所以，他要求Archimedes 在不損壞桂冠的情況下、查明桂冠是否的確是以一定比例的金銀打造而成。

他告訴國王：他需要幾天時間考慮這件事情。

一天，當他全神貫注於這個問題時，他決定先在裝滿水的浴缸裡泡泡澡；他立即發現：當他踏入浴缸時，水就從浴缸裡溢出來、而流到周圍的大理石地板上，並且，他愈往浴缸裡浸，就有愈多的水被擠出浴缸。

「當我進入浴缸時，」Archimedes 推理道，「我的身體將大量的水擠出浴缸；現在，我的身體的體積、和被擠出的水量之間，肯定存在有某種關係 — 因為，如果我的身體不是那麼大，那麼，被擠出到浴缸外面的水就會更少。」

Archimedes 提出問題： 如果把桂冠放入水中，會怎麼樣？突然，他想通了，瞬時，他便從浴缸裡跳了起來，赤裸著身體、跑在街上、大呼「Heurēka (我找到了)！」

現在，是時候檢查一下桂冠了。為了找出桂冠體積，阿基米德將桂冠浸入盛滿水的桶中，並測量溢出的水的體積；然後，他拿了兩塊和國王交付相同比例的黃金和白銀，浸入桶中，並比較被擠出的水的體積、以確定：桂冠是否確實是以原比例的金銀製成。

驚喜！驚喜！數字不同！桂冠排出的水、比後者還多，這代表，桂冠的密度小於應有的比例。所以，國王確實被工匠欺騙了。

Archimedes 藉由在水中稱重、來確定為Hieron II 製作的金銀桂冠中、含有金銀比例的故事，有可能是真的；但從浴缸裡跳出來，赤裸著身體、跑到在街上、大呼「Heurēka (我找到了)！」的故事，則應該是流行的修飾語。

Archimedes 的著作，很多部分是以與當時學者通信的形式、被保留下來。Conon of Samos 是Ptolemy III Euergetes 的宮廷天文學家，Eratosthenes of Cyrene 是一位希臘數學家、地理學家、天文學家、音樂理論家、文學家兼詩人，他們都和Archimedes 有著密切的書信往返。

Archimedes 是阿基米德螺桿的發明者，作為水泵、這是最早的液壓汲水機械之一。

除了前面提到的起重機之外，Archimedes 還發明了能投射巨大石塊的大砲，這些武器，在抵禦羅馬人圍攻Syracuse 的戰事中發揮了重要的作用，以至於大大地推遲了羅馬對於這個城市的佔領。

當Syracuse 最終在公元前212 年秋天、或211 年春天被羅馬將軍Marcus Claudius Marcellus 攻陷，Archimedes 不幸在軍隊洗劫這座城市時被殺。

Archimedes 雖然因為機械發明而聲名鵲起，但他相信：純數學，才是唯一值得追求的目標。

Archimedes 的僕人、常常違背他的意願把他帶到浴室，為他清洗、並塗油，但在那裡，Archimedes 總是會畫出幾何圖形；當他們幫他用油塗抹、並按摩時，他還用會手指，在他自己和他們赤裸的身體上畫線。他完全脫離了自我，帶著他對幾何研究的喜悅，進入狂喜恍惚、出神迷醉的狀態中。

Archimedes 的成就是相當傑出的，他被認為是史上最偉大的數學家之一。他完善了一種積分的方法，能夠找到許多物體的表面積、和體積；這也誕生了由Kepler、Cavalieri、Fermat、Leibniz、和Newton 構思並完善的無限微積分。

Archimedes 給出了圓周率 π 的精確近似，並表明：它可以無限精確地以平方根逼近。

在力學上，Archimedes 發現了有關平面圖形和固體重心的基本定理；他最著名的定理、給出了浸入液體中的物體的重量，稱為阿基米德原理。

The ratio of circumference of circle to diameter 圓周率

Pythagorean 學派的理念是什麼呢？

萬物皆數？

這並不準確。

萬物皆「什麼」數？

Pythagorean 學派的理念是：萬物皆「整」數，或者，放寬一點說，萬物皆「是由整數的加減乘除所構造出來的」數。

乘法、是加法的放大，除法、則是減法的放大；而減法、只是加法的逆運算。

所以，一切由算數運算所產生來的繽紛結果，都由以下的基本式子演化而成：

1 + 1 = 2

但什麼又是「整」呢？這涉及到、什麼是單位「一」的問題。

可以把經由乘法運算構造出來的數、叫做單位「一」，那麼，原來的數，又可以被看成是、這個單位「一」經由乘法的逆運算 — 除法 — 所構造出來的數。

允許用整數去除，也就是均分的意思；比方，將某個單位「一」均分為一千份，還可以更小。

依此，Pythagoras 就想，我要它多小就有多小，而這、不正是印度小乘部派佛教裡面、鄰虛極微之塵的概念嗎？所以，像鄰虛微塵那樣小的砂礫，應該就已經小到、足以通過宇宙中、極微孔隙的網孔了吧？

不料，答案卻是否定的。

Pythagoras 說：「好啊！那我就把鄰虛再磨得更細、更細，這樣，總夠小了吧？」但結果，無論將鄰虛磨得多麼地小，總是無法通過極微孔隙的網孔。

問題出在哪裡呢？在於：他以為用整數的除法，就可以窮盡數線上所有的點。

如果連一條線上的點都填不滿，那麼，又怎麼能夠通過宇宙中、極微孔隙的網孔，從而，返過頭回來、告訴我們說，這、就是宇宙的「本質」呢？

現在，所謂「有理數」，是可以用除法來窮盡的數；而無法窮盡的那些縫隙，就叫做「無理數」。

Pythagorean 學派中有一個人，由於發現了√2 是無理數，結果被下令淹死在海中，理由是，那會危及到學派論理的正確性。

又例如音律的構造，Pythagoras 還是執意要用除法，後來就遇到了問題。

真理、總超過人們的設想，但人們卻不知道謙虛，而要把他們的設想提高、來取代真理。

要注意「總」這個字。

前面提到了，以單位「一」為邊長的正方形，其對角線的長度 √2，乃是一個無理數。

現在，若以對角線為半徑，往下畫一個弧、和水平線相交，而告知水平線說：這個位置、就是無理數 √2，那麼，這個思想操作、不正暗示了無理數和二維運算的關係嗎？

但誰又會料到，正方形、和圓形，其實有著密切關聯呢？

單位「一」既然可以隨意設定，那麼，就讓圓的半徑長、為 1，也就是：將半徑為 1 的圓、用十字畫成四等份，再將這四個頂點，用直線連接起來。

半徑為 1 的圓，其內接四邊形的一個邊的邊長、為 √2。

換句話說，四分之一的圓周，其弦長為 √2，這是我們的第一次逼近，將其稱為 S。

Archimedes 逼近 π 的方法，是從給定圓的內接六邊形、和外接六邊形開始，逐次倍增多邊形的邊數，並使用每個多邊形邊長的總長、和給定圓直徑的比率，作為 π 的逼近值 (π ≈ 邊長總長/直徑)。

由於外接多邊形的周長將大於圓的周長，因此，得出的 π 逼近值將太大；同理，內接多邊形的長也會太小，產生較低的逼近值。隨著多邊形邊數的增加，兩個逼近值會向 π 夾擠而收斂。

而我們則從圓的內接四邊形開始，精神相同，卻可以更清楚地顯現圓周率 π 和 √2 的密切關聯。又因為，給定圓的半徑為 1，而所求得的邊長、只是圓內接多邊形的一個邊的長度，所以，還要再轉換一次，但這些都不影響對於 π 的逼近的結果。

既然，四分之一圓周的長，可以用它的弦長來逼近，再把四分之一的圓周切成八分之一，其內部的弦長就會更接近於八分之一圓周的長；這樣，無窮切割至十六分之一圓周、三十二分之一圓周⋯等等，其內部的弦長就會無窮逼近圓周的長。

在一連串逼近的過程中，會發現：√2 是關鍵。

現在，畫一條射線、平分四分之一圓周的內角，再將它和圓周相交的端點、與原來四分之一圓周的端點連接起來，這樣，會構成八分之一圓周的弦長 S’。

其中，S 代表四分之一圓周的弦，S’ 代表八分之一圓周的弦，兩者一同落在原來的四分之一圓周裡面，而 S’ 和 S/2，會構成直角三角形的斜邊、和底邊。直角三角形在靠近圓周之一端，而非在靠近圓心之一端。

要注意的是，半徑不是 S，S 是靠近圓周的弦。

想要知道的是，八分之一圓周的弦長 S’、和四分之一圓周的弦長 S，有著什麼樣的關係？而在知道了兩者的關係之後，就可以進而推進到，十六分之一圓周的弦長 S’’、和八分之一圓周的弦長 S’ 的關係⋯以下類推。

可以看到，S’ 和 S/2，乃分別代表、在一個以八分之一圓周的弦長、和四分之一圓周的弦長的一半、所構成的直角三角形中，的斜邊、和底邊。

這個直角三角形的對邊 b 要怎樣求得？先求得半徑的另一段 a，此即，方才的平分射線、長為半徑 1，其被四分之一圓周的弦長、所切開的靠圓心的另一段，再由半徑 1、減掉 a，就得到 b。

現在，再看靠圓心的直角三角形，依畢氏定理，有：

a² = 1 - (S/2)²

將等號兩邊開根號，得到：

a = √ (1 - (S/2)²)。

而直角三角形的對邊 b，就是半徑 1 減掉上面的數值，得到：

b = 1 - a = 1 - √ (1 - (S/2)²)

得到了 b，就可以套進剛剛的直角三角形，利用畢氏定理，有：

S’² = b² + (S/2)²

將這個算式拆解、計算、再把剛才的數值 S = √2 代進去，即有：

S’ = √ (b² + (S/2)²)

= √ [(1 - √ (1 - (S/2)²))² + (S/2)²)]

= √ [[1² - 2*√ (1 - (S/2)²) + (1 - (S/2)²] + (S/2)²)]

= √ [2 - 2*√ (1 - (S/2)²)]

= √ [2 - 2*√ (1 - (√2/2)²)]

= √ [2 - 2*√ (1 - (1/2))]

= √ [2 - 2*√ (1/2)]

= √ [2 - √2]

我們的第二次逼近，竟然可以化簡為一個漂亮的結果：

S’ = √ (2 - √2)

可以看到，裡面都是√2。此即是，從四分之一圓周，推進到八分之一圓周的變化。

那麼，當然想要更進一步知道，從八分之一圓周、推進到十六分之一圓周，會有怎麼樣的結果。

把八分之一圓周再切一半，此即，現在，畫一條射線、平分八分之一圓周的內角，再將它和圓周相交的端點、與原來八分之一圓周的端點連接起來，這樣，會構成十六分之一圓周的弦長 S’’。

其中，S’ 代表八分之一圓周的弦，S’’ 代表十六分之一圓周的弦，兩者一同落在原來的八分之一圓周裡面，而 S’’ 和 S’/2，會構成直角三角形的斜邊、和底邊。直角三角形在靠近圓周之一端，而非在靠近圓心之一端。

這代表，在八分之一圓周裡面，又會有一個小直角三角形，它的斜邊、和底邊的關係，如法炮製，會有如下的形式：

S’’² = b’² + (S’/2)²

要注意，因為是新的關係，所以小直角三角形的對邊、應表示為 b’ 才對。

同樣地，拆解、計算、再套進數值，有：

b’ = 1 - a’ = 1 - √ (1 - (S’/2)²)

S’’² = b’² + (S’/2)²

S’’ = √ [b’² + (S’/2)²]

= √ [2 - 2*√ (1 - (S’/2)²)]

= √ [2 - 2*√ (1 - (√ (2 -√2) / 2)²)]

= √ [2 - 2*√(1 - ((2 -√2) / 4))]

= √ [2 - √ (4 - (2 -√2))]

= √ [2 - √ (2 + √2)]

因此，我們的第三次逼近，得到：

S’’ = √ (2 - √ (2 + √2))

這就是，從八分之一圓周、推進到十六分之一圓周的變化。

下一步，應該不用計算、就可以知道：從十六分之一圓周、推進到三十二分之一圓周的結果，只要再增加一個 √2 的項，加到算式後面就是了。

此即：

S’’’ = √ (2 - √ (2 + √ (2 + √2)))

這是我們的第四次逼近。

驗算一下。

三十二分之一圓周的弦長、為：

√ (2 - √ (2 + √ (2 + √(2))) = 0.19603428065

因此，內接多邊形三十二邊的總長、為：

0.19603428065 × 32 = 6.27309698109

但這是半徑為 1，亦即，直徑為 2 的圓。

所以，還要再除以 2，兩者的比值、就是圓周率 π 在內接三十二多邊形邊長總長的逼近值：

6.27309698109 ÷ 2 = 3.13654849055

已經很接近。