GRSS relativity 020
前節提到，當三維空間上一點P 移動到另一鄰近點P + dP時，其在x¹ 方向之變化、為∂P/∂x¹，在x² 方向之變化、為∂P/∂x²；將∂P/∂x¹ 表為𝐞₁，∂P/∂x² 表為𝐞₂，二者皆為向量、而非純量。
如此、即有：dP
= ∂P/∂x¹ dx¹ + ∂P/∂x² dx²
= e₁ dx¹ + e₂ dx²
其中，e₁、e₂ 是為切空間中的協變座標基底向量，dx¹、dx² 是其「對偶」、為餘切空間中的逆變基底向量。
由：
ds² = ∥dP∥² = gᵢⱼ dxⁱ dxʲ = g̅ₖₗ dx̅ᵏ dx̅ˡ
援下述轉換、代入上式：
dx̅ᵏ = ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ dxⁱ
dx̅ˡ = ∂x̄ˡ⁄∂xʲ dxʲ
得到：
gᵢⱼ dxⁱ dxʲ
= g̅ₖₗ dx̅ᵏ dx̅ˡ
= g̅ₖₗ (∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ dxⁱ) (∂x̄ˡ⁄∂xʲ dxʲ)
= g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ dxⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ dxʲ
= g̅ₖₗ (∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ) dxⁱ dxʲ
此即：
gᵢⱼ dxⁱ dxʲ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ dxⁱ dxʲ
= (gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ) dxⁱ dxʲ
= 0
上式、並非「單一數值」之相乘，乃是矩陣乘法中、各分量之加總，為一「結構」，因而，不能直接消去dxⁱ dxʲ。
但因矩陣[gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ] 為對稱矩陣，方法之一，可藉由特徵值分解 (亦即將其分解為正交矩陣與對角矩陣之乘積)、再結合dx 的普遍性、推導出其恆為零矩陣。
以矩陣乘法表示、則為：
[dxⁱ]ᵀ [gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ] [dxʲ]
= [dxⁱ]ᵀ (Qᵀ D Q) [dxʲ]
= ([dxⁱ] Q)ᵀ D (Q [dxʲ])
= 0
其中，[dxⁱ]、[dxʲ] 都是矩陣。
此即：
∑ᵢ λᵢ ((Q dx)ᵢ)² = 0
其中，λᵢ 乃對角矩陣D 之特徵值 (eigen value)。
唯當對於「所有」dx、上式皆成立，方能確保每個特徵值λᵢ = 0，從而，保證對稱矩陣[gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ] 恆為零矩陣。
亦唯如此，乃可斷言：
gᵢⱼ = g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ
前述論證、乃基於P 在x¹ 方向上變化為∂P/∂x¹，在x² 方向上變化為∂P/∂x² 之前提下進行，而x¹、x² 之選取、乃是任意，因而，符合「所有」之要求，足以保證矩陣[gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ] 恆為零矩陣。
進而思之，若：
[dxⁱ]ᵀ [gᵢⱼ - g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂xⁱ ∂x̄ˡ⁄∂xʲ] [dxʲ] = 0
對於「所有」dx 皆成立，亦不必特地藉由特徵值分解、以保證恆為零矩陣也，故，特徵值分解並非唯一方法。
反之，若矩陣[gᵢⱼ]、[g̅ₖₗ] 有一不為對稱，亦將使上述轉換之根基土崩瓦解。
試以一反例驗證「對稱」之必要：
在二維中，當i = 1、j = 2 時，
g₁₂
= g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂x¹ ∂x̄ˡ⁄∂x²
= g̅₁₁ ∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x̄¹⁄∂x² + g̅₁₂ ∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x̄²⁄∂x² + g̅₂₁ ∂x̄²⁄∂x¹ ∂x̄¹⁄∂x² + g̅₂₂ ∂x̄²⁄∂x¹ ∂x̄²⁄∂x²
當i = 2、j = 1 時，
g₂₁
= g̅ₖₗ ∂x̄ᵏ⁄∂x² ∂x̄ˡ⁄∂x¹
= g̅₁₁ ∂x̄¹⁄∂x² ∂x̄¹⁄∂x¹ + g̅₁₂ ∂x̄¹⁄∂x² ∂x̄²⁄∂x¹ + g̅₂₁ ∂x̄²⁄∂x² ∂x̄¹⁄∂x¹ + g̅₂₂ ∂x̄²⁄∂x² ∂x̄²⁄∂x¹
可以看出，g₁₂、g₂₁ 恆等，亦即，將1、2 交換、結果相同。
今，若令g̅₁₂、g̅₂₁ 不等，亦將使g₁₂、g₂₁ 不等，從而導致矛盾。
GRSS relativity 021
此節乃將上節之結果、推廣為一般化的張量轉換表示。
GRSS relativity 022
二個一階張量之乘積、會等於一個二階張量，而二階張量之轉換、依循前述之原則，即，等號兩邊的新標保持在原位置、右邊的舊標上下對應加總。
GRSS relativity 023
若定義：
Jʲ₁ = ∂x̄ʲ/∂x¹ = [∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹, ∂x̄³/∂x¹]
Jʲ₂ = ∂x̄ʲ/∂x² = [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x², ∂x̄³/∂x²]
其中，i = 1、2，j = 1、2、3，[ , ] 代表「樁」(直行，column)。
將兩「樁」左右排列，得到：
Jʲᵢ
= (Jʲ₁, Jʲ₂)
= ([∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹, ∂x̄³/∂x¹], [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x², ∂x̄³/∂x²])
Jacobian 的「正」矩陣為：[∂x̄ʲ/∂xⁱ]
「逆」矩陣為：[∂xⁱ/∂x̄ᵏ]
今，設函數為：F(x¹, x²)
當x̄ʲ = fʲ(xⁱ) = fʲ(x¹, x²) 時，
函數的梯度為： ∇F = (∂F/∂x¹, ∂F/∂x²) = (g₁, g₂)
其轉換為：
∂F/∂x¹ = ∂F/∂x̄¹ ∂x̄¹/∂x¹ + ∂F/∂x̄² ∂x̄²/∂x¹ + ∂F/∂x̄³ ∂x̄³/∂x¹
∂F/∂x² = ∂F/∂x̄¹ ∂x̄¹/∂x² + ∂F/∂x̄² ∂x̄²/∂x² + ∂F/∂x̄³ ∂x̄³/∂x²
亦即：
g₁ = ḡ₁ ∂x̄¹⁄∂x¹ + ḡ₂ ∂x̄²⁄∂x¹ + ḡ₃ ∂x̄³⁄∂x¹
g₂ = ḡ₁ ∂x̄¹⁄∂x² + ḡ₂ ∂x̄²⁄∂x² + ḡ₃ ∂x̄³⁄∂x²
任意協變向量、以舊 (加橫線) 座標表示、為：
ḡ = (ḡ₁, ḡ₂, ḡ₃)
以新 (無橫線) 座標表示、為：
g = (g₁, g₂)
其中，( , ) 代表「槓」(橫列，row)。
如此、則有：
gᵢ = ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ
此即前節所述：協變因子轉換時、需乘以J 的「正」，而與：
gᵢ
= ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ
= ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ + ḡ₃ ∂x̄³/∂xⁱ
完全等價。
乘法方向：協變因子在前，Jacobian 的「正」在後。
今，設函數F(x¹, x²) 之「向量表示」為：
P(t) = (x¹(t), x²(t))
其在(𝑥̄¹, 𝑥̄², 𝑥̄³) 座標系的「向量表示」為：
P(t) = (𝑥̄¹(t), 𝑥̄²(t), 𝑥̄³(t))
當三維空間上一點P 沿著向量V̄ 方向、移動到另一鄰近點P + dP 時，
dP/dt
= ∂P/∂𝑥̄¹ d𝑥̄¹/dt + ∂P/∂𝑥̄² d𝑥̄²/dt + ∂P/∂𝑥̄³ d𝑥̄³/dt
= (∂/∂𝑥̄¹ d𝑥̄¹/dt + ∂/∂𝑥̄² d𝑥̄²/dt + ∂/∂𝑥̄³ d𝑥̄³/dt) P
= (∂/∂𝑥̄¹ V̄¹+ ∂/∂𝑥̄² V̄² + ∂/∂𝑥̄³ V̄³) P
= V̄(P)
其中，V̄ 是方向導數 (directional derivative) 算子。
因而，任意逆變向量、以舊 (加橫線) 座標表示、為：
V̄ = [V̄¹, V̄², V̄³]
以新 (無橫線) 座標表示、為：
V = [V¹, V²]
其中，[ , ] 代表「樁」(直行，column)。
如此、則有：
Vⁱ = ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ V̄ʲ
此即前節所述：逆變因子轉換時、需乘以J 的「逆」，而與：
Vⁱ
= ∑ⱼ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ V̄ʲ
= ∂xⁱ⁄∂x̄¹ V̄¹ + ∂xⁱ⁄∂x̄² V̄² + ∂xⁱ⁄∂x̄³ V̄³
完全等價。
乘法方向：Jacobian 的「逆」在前，逆變因子在後。
將Jacobian 的「正」「逆」矩陣相乘，其中，j = 1、2、3，i = 1、2，則有：
[∂x̄ʲ/∂xⁱ] · [∂xⁱ/∂x̄ᵏ]
= ([∂x̄¹/∂x¹, ∂x̄²/∂x¹, ∂x̄³/∂x¹], [∂x̄¹/∂x², ∂x̄²/∂x², ∂x̄³/∂x²]) · [(∂x¹/∂x̄¹, ∂x¹/∂x̄², ∂x¹/∂x̄³), (∂x²/∂x̄¹, ∂x²/∂x̄², ∂x²/∂x̄³)]
= [∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ]
中間的i = 1、2 消掉，相乘的結果、將是一個3x3 矩陣；在已給定三維對二維之情況，此矩陣為投影矩陣、而非單位矩陣。
令：
δ̄ʲₖ = ∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ
依鏈鎖律 (chain rule)：
∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ = ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥¹ ∂𝑥¹∕∂𝑥̄ᵏ + ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥² ∂𝑥²∕∂𝑥̄ᵏ = ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥̄ᵏ
δ̄ʲₖ 為投影矩陣之分量，又因，「二變數𝑥̄ʲ 𝑥̄ᵏ彼此獨立」之前提、必須是轉換座標間「維度相同」，故，僅限於在「同秩」的子空間之範圍內，亦即，在已給定的三維對二維之情況、截取其中二維對二維之子空間，此時，所有j ≠ k 的變數之偏微分，才有δ̄ʲₖ = 0，所有j = k 的變數之偏微分，才有δ̄ʲₖ = 1，而所有j k 指標的偏導數乘積之綜合、才能構成單位矩陣，也就是說，在「同秩」之部分，[δ̄ʲₖ] = I，而在不同秩的「多餘」部分，對應到投影矩陣中被壓縮掉的0 分量。
在「同秩」之部分，δ̄ʲₖ 可倒推而展開為：
δ̄ʲₖ
= ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥̄ᵏ
= ∑ₙ ∂x̄ʲ⁄∂xⁿ ∂xⁿ⁄∂x̄ᵏ
= δⁿₙ ∂x̄ʲ⁄∂xⁿ ∂xⁿ⁄∂x̄ᵏ
= δˡₘ ∂x̄ʲ⁄∂xˡ ∂xᵐ⁄∂x̄ᵏ
因l、m 都是啞指標，當l = m 時，δˡₘ 等於1，否則、等於0，故，δˡₘ 之轉換、即為：
δˡₘ ∂x̄ʲ⁄∂xˡ ∂xᵐ⁄∂x̄ᵏ = δ̄ʲₖ = I
是故，在不同座標系間，必須限定在唯二者「同秩」之部分，δˡₘ 的轉換方為單位矩陣。
