量子系統的規模：張量積與指數級爆炸的真相

我們建立了量子計算的基礎：語言 (狄拉克符號)、超能力 (疊加態)、地圖 (布洛赫球)、和代價 (測量塌縮)。我們知道單個 Qubit 的強大，但要解決實際的複雜問題，我們需要數十個、數百個 Qubit 協同工作。

當我們將多個 Qubit 組合在一起時，它們的運算能力是如何擴展的？答案就是指數級爆炸，而這背後的數學工具就是張量積（Tensor Product）。

古典的線性擴展

為了理解量子的規模優勢，我們需要先看看古典電腦的局限性。古典電腦的最小資訊單位是位元 (Bit)，它在硬體上的實現通常是一個 CMOS（互補式金氧半導體）電晶體。一個電晶體就像一個微小的開關：

• 位元狀態 0： 開關關閉，電壓低。
• 位元狀態 1： 開開啟啟，電壓高。

假設我們有 N 個古典位元：

• N 個電晶體總共可以儲存 N 位資訊。
• 它們只能在任何一個時間點表示一個 N 位數值（例如 01101...）。古典資訊是線性擴展的。

（延伸閱讀：半導體製程系列 4/ 8 | 電晶體 CMOS：晶片的心跳）

量子世界的組合法則：張量積 (Tensor Product, ⊗)

張量積 (⊗，otimes) 是量子力學中最基本的複合系統組合規則。它是一種數學運算，在物理學上，它決定了當多個獨立 Qubit 系統結合時，它們的聯合狀態空間將如何構成。當我們組合兩個完全獨立的量子系統 A 和 B（狀態空間分別為 V_A 和 V_B）時，我們必須使用張量積來定義新的聯合狀態空間 V_AB：

V_AB = V_A ⊗ V_B

張量積確保了複合系統 A B 的狀態空間包含了所有 A 和 B 各自獨立的可能性組合。它描述了多個量子系統如何相安無事地共存，同時維持各自的疊加潛力。

考慮兩個 Qubit：Q_A 處於 |0> 狀態，Q_B 處於 |1> 狀態。

• 古典表示： 01
• 量子表示： |0> ⊗ |1>

為了簡化書寫，量子計算中通常省略 ⊗ 符號，寫成並列形式 |0> |1> 或更常見的簡寫 |01>。這個 |01> 不是兩個獨立狀態的並列，它代表了一個全新的、四維的量子系統。這是因為兩個 Qubit 的所有潛在組合必須被納入考量。

狀態空間的爆炸擴展

張量積的結果，導致了量子系統的狀態空間（State Space）出現指數級的擴展，當我們組合兩個 Qubit 時，這個系統的計算基態不再是 |0> 和 |1>，而是四個獨立的組合態：

|00>，|01>，|10>，|11>

這四個基態共同構成了一個四維的狀態空間。2² = 4 種獨立基態

同理，當我們有 N 個 Qubit 時，這個系統的狀態空間將包含 2^N 種獨立基態。

• 3 Qubit： 2³ = 8 個基態（例如 |000> 到 |111>）
• 10 Qubit： 2¹⁰ = 1024 個基態

N 個 Qubit 的量子系統，在測量之前，可以同時處於這 2^N 種基態的疊加中。

量子優勢的資源庫：指數級的承載能力

這種 2^N 的狀態空間就是量子電腦的計算資源庫，也是其能夠超越古典電腦的根本原因：

1. 資訊承載力： N 個 Qubit 能夠在一個單一的狀態向量 ∣ψ⟩ 中，同時儲存所有 2^N 種可能的組合資訊，就像一個巨大的並行記憶體。
2. 單次運算效能： 當一個量子門作用於 N 個 Qubit 構成的疊加態時，它並不是對單一的 0 或 1 進行操作，而是同時對這 2^N 個基態的概率幅進行調整。

這是量子計算的指數級加速的數學基礎，它允許量子演算法在一次操作中，探索比古典電腦多得多的解空間。

概念複習與 Q&A