導讀：微分對「變動」極度敏感
在工程中，我們使用微分來觀察：
👉 變化速度
👉 趨勢方向
👉 邊緣位置
但必須理解一件事：
只要是變動，不論是有用訊號、誤差或雜訊， 微分都會一視同仁地放大。
一、誤差在微分下會被放大
假設真實訊號為：
x(t)
量測時包含誤差：
xₘ(t) = x(t) + e(t)
對其微分：
dxₘ(t)/dt
= dx(t)/dt + de(t)/dt
代表：
👉 原始變化 + 誤差變化
工程含義：
即使誤差本身很小，只要變動快，微分後就可能變很大。
二、為什麼小雜訊會變成大干擾？
多數雜訊特性：
👉 振幅小
👉 頻率高
而微分在頻域等效於乘上頻率：
放大倍率 ∝ f
因此：
👉 高頻雜訊被大幅放大
三、有限差分的誤差放大效應
實際系統常用近似：
dx/dt ≈ (x[n] − x[n−1]) / Δt
若 Δt 很小：
👉 分母很小
👉 誤差被除大
工程直覺：
取樣越快，微分越容易放大雜訊。
四、工程師的標準對策
• 先低通濾波
• 再微分
• 或使用平滑微分器（Savitzky-Golay、移動平均微分）
• 控制取樣頻率
目的：
👉 留下趨勢
👉 壓制高頻
五、工程版一句話總結
微分不是在放大訊號，
而是在放大「變化」。
六、本單元你應該建立的直覺
✔ 變動快 → 微分後大
✔ 高頻 → 微分後更大
✔ 小誤差 + 快變動 → 大干擾
📘 數學案例 1：小誤差的放大
已知：
x(t) = t²
e(t) = 0.001 sin(100t)
量測值：
xₘ(t) = t² + 0.001 sin(100t)
微分後：
dxₘ(t)/dt
= 2t + 0.001 · 100 cos(100t)
= 2t + 0.1 cos(100t)
觀察：
👉 原本只有 0.001 的誤差
👉 微分後振幅變成 0.1
放大了 100 倍。
📘 數學案例 2：差分近似的誤差
假設某訊號在兩次取樣間：
x[n] − x[n−1] = 0.001
Δt = 0.0001 s
則：
dx/dt ≈ 0.001 / 0.0001 = 10
若量測誤差只有：
±0.0001
微分後誤差變成：
±0.0001 / 0.0001 = ±1
👉 原本極小誤差，變成與訊號同量級。
🔚 核心收斂句：
微分是一把手術刀， 但握不好，也會變成放大鏡。
