導讀：電路不是靜態的，而是流動的
在真實電路中：
👉 電壓在變
👉 電流在變
👉 能量在流動
只要有「變化」，背後的數學語言就是：
👉 微分（d/dt）
也就是說：
看懂微分，就能讀懂電路的動態行為。
一、電容的微分關係：電壓變 → 電流出現
電容基本式：
i(t) = C · dv(t)/dt
意義：
👉 電壓變化越快
👉 電流越大
工程直覺：
👉 電容討厭「突變電壓」
📌 數學例子（電容）
C = 10 μF
電壓在 1 ms 內由 0 V 上升到 5 V
dv/dt = 5 / 0.001 = 5000 V/s
i = C · dv/dt
= 10×10⁻⁶ × 5000
= 0.05 A
👉 電壓上升越快，瞬間電流越大。
工程含義：
若 dv/dt → ∞
則 i → ∞
因此現實中一定要限制電壓變化速度。
二、電感的微分關係：電流變 → 電壓產生
電感基本式：
v(t) = L · di(t)/dt
意義：
👉 電流變化越快
👉 感生電壓越大
工程直覺：
👉 電感討厭「突變電流」
📌 數學例子（電感）
L = 2 mH
電流在 1 ms 內由 0 A 上升到 2 A
di/dt = 2 / 0.001 = 2000 A/s
v = L · di/dt
= 2×10⁻³ × 2000
= 4 V
👉 強迫電流快速改變，就會產生顯著電壓。
工程含義：
若 di/dt 很大
→ 電感端電壓很高
→ 可能造成元件損壞。
三、RC 電路的一階微分模型
v_out(t) = v_in(t) − R·C · dv_out(t)/dt
代表：
👉 一階微分系統
工程意義：
👉 指數充放電
👉 平滑輸入
👉 形成低通濾波器
四、RL 電路的一階微分模型
v_in(t) = R·i(t) + L·di(t)/dt
代表：
👉 電流不會瞬間跳變
👉 上升與下降皆為指數型
五、LC 電路的二階微分模型
L·C · d²v(t)/dt² + v(t) = 0
代表：
👉 二階微分系統
工程意義：
👉 震盪
👉 共振
👉 振盪器與諧振槽
六、微分對雜訊的影響
微分會：
👉 放大高頻
👉 放大雜訊
原因：
👉 高頻代表「變化快」
七、工程師的實務作法
• 先濾波
• 再微分
• 或用差分近似
目的：
👉 保留趨勢
👉 壓制雜訊
八、工程版一句話總結
電容看電壓的變化，
電感看電流的變化。
九、本單元你應該建立的直覺
✔ dv/dt 大 → 電容電流大
✔ di/dt 大 → 電感電壓大
✔ d²/dt² 出現 → 震盪系統
🔚 核心收斂句：
電路不是在算靜態數值， 而是在管理「變化速度」。
