導讀：訊號工程師真正關心的是「變化」
在訊號處理中：
👉 平坦區段幾乎沒有新資訊
👉 訊號發生變化的瞬間，才包含關鍵特徵
因此工程師關心的不是：
「訊號有多大」
而是：
「訊號變得多快」
而描述「變得多快」的數學工具，就是：
👉 微分
一、微分抓的是「邊緣」
數學表示：
y(t) = dx(t)/dt
當訊號突然上升或下降時：
👉 導數會產生尖峰
工程意義：
👉 邊緣偵測（Edge Detection）
👉 影像輪廓擷取
👉 通訊同步點判斷
工程直覺：
邊緣越陡，導數越大。
二、微分的頻率觀點
若：
x(t) ↔ X(f)
則：
dx(t)/dt ↔ j·2πf·X(f)
代表：
👉 頻率越高，倍率越大
工程翻譯：
👉 微分會放大高頻
👉 微分會抑制低頻
三、微分等效高通濾波
低頻成分：
👉 幾乎被壓低
高頻成分：
👉 被放大
因此微分的整體行為類似：
👉 高通濾波器
工程意義：
👉 保留快速變化
👉 去除緩慢變化
四、為什麼微分會放大雜訊？
實際雜訊大多集中於：
👉 高頻
而微分又會：
👉 放大高頻
因此：
👉 微分後雜訊更明顯
五、實務工程解法
• 先低通濾波
• 再微分
• 或使用平滑微分器
目的：
👉 保留邊緣
👉 抑制雜訊
六、微分與頻寬的關係
頻寬越大：
👉 可包含越高頻率成分
👉 訊號變化越快
👉 導數幅度越大
工程直覺：
高速訊號，一定伴隨大導數。
七、工程版一句話總結
微分看到的不是訊號本身，
而是訊號「如何改變」。
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 邊緣 = 大導數
✔ 高頻 = 大導數
✔ 雜訊 = 會被放大
📘 數學練習 1（時間域）
已知：
x(t) = 3t²
求：
y(t) = dx(t)/dt
解題方向：
y(t) = 6t
思考：
👉 t 越大，導數越大
👉 代表變化速度越快
📘 數學練習 2（頻率域）
已知某訊號在 100 Hz 與 1000 Hz 具有相同振幅。
經過微分後，哪一個頻率成分會被放大較多？
解題方向：
放大倍率 ∝ f
因此：
👉 1000 Hz 成分被放大 10 倍於 100 Hz
🔚 核心收斂句：
微分在訊號工程中的角色， 就是把「變化」從背景中凸顯出來。
