導讀：工程不是在避免誤差，而是在管理誤差
很多新手工程師會追求：
👉 完全準確
但真實工程的本質是：👉 沒有零誤差
真正重要的是：
👉 誤差從哪來 👉 誤差長多快 👉 誤差能不能接受
一、所有微分近似的源頭：泰勒截斷
任何光滑函數都可展開為：
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + ½ f″(a)(x − a)² + …
線性近似只保留：
f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a)
被捨棄的高次項：
👉 就是誤差來源
二、誤差第一來源：變動幅度太大
主要誤差項約為：
½ f″(a)(x − a)²
誤差與：
(x − a)²
成正比。
工程直覺：
👉 變動加倍 → 誤差變四倍
三、誤差第二來源：曲率太大
若：
|f″(a)| 很大
代表：
👉 曲線彎得很厲害 👉 線性可用範圍很小
四、誤差第三來源：工作點漂移
若實際運作點不再接近 a：
👉 原線性模型立即失效
五、工程實例
放大器
小訊號 → 線性
大訊號 → 失真
控制系統
負載改變 → 原模型不準
六、簡單數學例子 ①：變動幅度的影響
給定：
f(x) = x²
在 a = 1 附近線性化
f(1) = 1
f′(x) = 2x → f′(1) = 2
線性模型：
f(x) ≈ 1 + 2(x − 1)
真實值：
f(x) = x²
當 x = 1.1
線性： 1 + 2(0.1) = 1.2
真實： 1.1² = 1.21 誤差 = 0.01
當 x = 1.5
線性： 1 + 2(0.5) = 2
真實： 2.25 誤差 = 0.25
👉 變動放大 → 誤差急速上升
七、簡單數學例子 ②：曲率影響
f(x) = x³
f″(x) = 6x
在 x = 2：
f″(2) = 12（曲率大）
在 x = 0.2：
f″(0.2) = 1.2（曲率小）
👉 曲率越大 → 線性可用範圍越小
八、工程師如何快速估計誤差？
觀察：
|½ f″(a)(x − a)²|
是否小於容許誤差。
九、工程版一句話總結
誤差不是意外，
而是你選擇忽略高次項的代價。
十、本單元你應該建立的直覺
✔ 變動越大 → 誤差越大
✔ 曲率越大 → 半徑越小 ✔ 工作點會漂移
