📌 導讀：什麼是頻寬？為什麼它是「能力上限」？
在訊號與通訊世界裡，頻寬（Bandwidth）並不是隨意的一段頻率範圍，而是系統真正能有效利用或傳遞訊號的頻率區間。它決定了：
✔ 系統能承載的最大資訊量
✔ 能否讓訊號不失真地通過
✔ 是否能避免干擾與混疊
因此頻寬就像一個通道的 容量天花板：
👉 你能放的「頻率成分」越多，系統能力越大；
👉 能放的越少，系統能力越小。
🧠 一、頻寬的基本定義
頻寬通常有兩種定義方式：
① 3 dB 帶寬（−3 分貝頻寬）
對於頻率響應 |H(jω)|：
當頻率降低到：
|H(jω)| = (1/√2)·|H(j0)|
所對應的頻率，就定義為 截止頻率 f_c。
頻寬 BW 通常是：
BW = f_h − f_l
若系統從 0 到 f_c 才算有效通道，那：
BW ≈ f_c
② 能量集中頻率範圍
對於訊號 X(ω)：
頻寬可以定義成：
使總能量集中於大部分能量的最小頻率範圍。
例如：
👉 「95% 能量頻寬」
👉 「99% 能量頻寬」
🧠 二、頻寬與資訊容量
通訊系統的最大資訊傳輸能力由香農通道定理表示：
C = BW · log₂(1 + S/N)
其中：
C = 資料速率
BW = 頻寬
S/N = 訊號對雜訊比
這裡可以看到：
📌 頻寬越大 → 有能力傳更多資訊
📌 但受 S/N 條件限制
因此頻寬是 系統能力的天花板。
🧠 三、頻寬與頻率響應
對於一階低通系統：
H(jω) = K / (1 + j·τ·ω)
它的幅值特性：
|H(jω)| = K / √(1 + (τ·ω)²)
若定義 3 dB 頻寬：
當：
|H(jω)| = K / √2
則：
√(1 + (τ·ω_c)²) = √2
⇒ 1 + (τ·ω_c)² = 2
⇒ (τ·ω_c)² = 1
⇒ ω_c = 1 / τ
頻寬（以赫茲表示）：
f_c = ω_c / (2·π) = 1 / (2·π·τ)
這告訴我們：
✔ 系統的頻寬與 τ（時間常數）反比
✔ 反應越慢 → 頻寬越窄
🧠 四、實際工程上的頻寬解釋
✔ 濾波器頻寬
濾波器設計時：
頻寬決定：
✔ 想要讓哪些頻率通過
✔ 想要阻擋哪些頻率
例如：
📌 低通濾波器 → 允許低頻通過
📌 帶通濾波器 → 允許某一頻率範圍通過
✔ 通信頻道
無線或有線通道的頻寬：
✔ 決定可用頻段大小
✔ 決定能傳的速率上限
✔ 影響干擾與多路存取策略
🧠 五、頻寬與時間域之間的直覺關係
一個系統：
✔ 反應快速 → 頻寬大
✔ 反應慢 → 頻寬窄
這是因為：
📌 時域能量短 → 頻域頻率分佈寬
📌 時域能量長 → 頻域頻率分佈窄
📌 一句話記住
頻寬 = 系統可用頻率範圍，它決定了系統訊號處理與通訊能力的上限。
🧮 整合型數學題（含解析）
考慮一階低通系統的頻率響應：
H(jω) = K / (1 + j·τ·ω)
其中：
τ = 0.005（秒）
K = 1
(1) 求該系統的 3 dB 截止角頻率 ω_c
(2) 求對應的截止頻率 f_c（赫茲）
(3) 若進入此系統的是一段脈衝訊號，頻寬是否與截止頻率有關？
(4) 解釋頻寬在通訊系統中的工程意義
✅ 解析
（1）3 dB 截止角頻率 ω_c
3 dB 截止條件：
|H(jω_c)| = K / √2
帶入：
K = 1
所以：
1 / √(1 + (τ·ω_c)²) = 1 / √2
⇒ 1 + (τ·ω_c)² = 2
⇒ (τ·ω_c)² = 1
⇒ τ·ω_c = 1
⇒ ω_c = 1 / τ
代入：
τ = 0.005
ω_c = 1 / 0.005 = 200（弧度/秒）
（2）截止頻率 f_c（Hz）
f_c = ω_c / (2·π)
≈ 200 / (2·π) ≈ 31.83（Hz）
（3）脈衝訊號與頻寬
脈衝訊號可以看成是很多頻率成分的疊加。
當頻寬大於脈衝的主要頻率成分時：
✔ 脈衝會被良好通過
若頻寬太窄：
✔ 高頻成分會被削弱
✔ 脈衝形狀會變鈍
因此：
👉 脈衝的有效頻寬必須小於系統頻寬
否則會失真
（4）工程意義摘要
✔ 截止頻率 f_c 定義系統主要能傳遞的頻率範圍
✔ 系統頻寬越大 → 能傳更多頻率 → 資訊速率可能越高
✔ 在通訊中，頻寬受限於物理頻道與法規限制
✔ 設計濾波器時必須考慮截止頻率與過渡範圍
🎯 工程總結
關鍵觀念
· 頻寬是系統的 能力上限
· 3 dB 截止頻率是最常用的衡量方式
· 頻寬與時間反應速度成反比
· 系統頻寬決定了可傳輸訊號的快速程度與資訊容量
