📌 導讀：為什麼工程師要同時學會兩種語言？
任何一個真實系統：
✔ 都會隨時間變化
✔ 也會對不同頻率的刺激產生不同反應
因此工程師發展出兩種互補的描述方式：
👉 時域（Time Domain）：看「隨時間怎麼變」
👉 頻域（Frequency Domain）：看「對不同頻率怎麼反應」
這兩種語言描述的是 同一個系統，只是觀察角度不同。
🧠 一、時域在看什麼？
時域描述：
輸入 u(t)
經過系統
產生輸出 y(t)
重點關心：
✔ 上升多快
✔ 會不會震盪
✔ 會不會超調
✔ 何時穩定
典型時域模型：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
🧠 二、頻域在看什麼？
頻域關心的是：
👉 系統對不同頻率成分的處理方式
系統可視為：
「頻率濾波器」
不同頻率 ω：
✔ 有不同增益
✔ 有不同相位延遲
🧠 三、時域與頻域的橋樑：拉普拉斯轉換
由時域方程：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
轉為 s 域：
(τs + 1)·Y(s) = K·U(s)
傳遞函數：
H(s) = Y(s) / U(s)
H(s) = K / (τs + 1)
🧠 四、頻率響應
令：
s = jω
得到：
H(jω) = K / (1 + jτω)
這個函數完整描述：
✔ 各頻率的放大倍率
✔ 各頻率的相位延遲
🧠 五、幅值與相位
幅值：
|H(jω)| = K / √(1 + (τω)²)
相位：
φ(ω) = −tan⁻¹(τω)
🧠 六、時域與頻域的對照直覺
觀點
看什麼
時域
系統隨時間如何變
頻域
系統對各頻率如何處理
👉 時域擅長看「過程」
👉 頻域擅長看「結構」
🧠 七、一階系統的頻域直覺
低頻 ω → 0：
|H(jω)| → K
φ → 0
高頻 ω → ∞：
|H(jω)| → 0
φ → −π/2
結論：
👉 一階系統是 低通系統
🧠 八、為什麼兩種語言都必要？
只用時域：
❌ 不易設計濾波器
❌ 難以理解頻率干擾
只用頻域：
❌ 看不到啟動瞬間行為
工程師必須能 雙語思考
📌 一句話記住
時域描述變化過程，頻域描述頻率選擇性，但本質是同一個系統。
🧮 整合型數學題
考慮一階系統：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
其中：
τ = 2
K = 3 u(t) = cos(ωt)
(1) 求頻率響應 H(jω)
H(s) = 3 / (2s + 1)
令 s = jω：
H(jω) = 3 / (1 + j·2ω)
(2) 求幅值與相位
|H(jω)| = 3 / √(1 + (2ω)²)
φ(ω) = −tan⁻¹(2ω)
(3) 寫出穩態輸出 y_ss(t)
y_ss(t) = |H(jω)| · cos(ωt + φ)
y_ss(t) = [ 3 / √(1 + 4ω²) ] · cos( ωt − tan⁻¹(2ω) )
(4) 低頻與高頻行為
低頻 ω → 0：
|H| → 3
φ → 0
y_ss(t) ≈ 3 cos(ωt)
高頻 ω → ∞：
|H| → 0
φ → −π/2
輸出趨近於 0
🎯 工程總結
✔ 時域看時間
✔ 頻域看頻率
✔ 拉普拉斯是橋樑
✔ 兩者結合才能真正看懂系統
