📌 導讀：工程師真正關心的不是長什麼樣，而是「能量在哪裡」
在時域中，我們看到的是：
u(t)、y(t) 的波形
但在工程上更重要的問題是：
👉 能量主要集中在哪些頻率？
👉 哪些頻率是有用的？
👉 哪些頻率是干擾？
這些問題的答案存在於：
👉 頻譜（Spectrum）
🧠 一、什麼是頻譜？
頻譜表示：
👉 訊號在各個頻率上的 能量或強度分佈
如果：
x(t) ⇄ X(ω)
那麼：
|X(ω)|² 代表：
👉 頻率 ω 上的能量密度
🧠 二、工程觀點下的頻譜
頻譜回答三個核心問題：
✔ 能量集中區域
✔ 頻寬大小
✔ 是否存在高頻雜訊
這比單純看波形直觀得多。
🧠 三、時間越短 → 頻譜越寬
一個重要工程直覺：
👉 訊號在時間上越「短促」
👉 頻域中涵蓋的頻率範圍越「寬」
例如：
短脈衝 → 寬頻
長週期正弦波 → 單一頻率
🧠 四、能量有限 ⇒ 頻譜必須衰減
物理系統中：
✔ 能量有限
⇒ 頻譜在高頻一定會衰減
若高頻能量無限制存在：
👉 系統將無法實作（需要無限功率）
因此所有真實系統：
👉 頻譜必定有「下降趨勢」
🧠 五、頻譜與系統設計
工程師會利用頻譜來：
✔ 設計濾波器
✔ 分配通道頻寬
✔ 限制干擾
✔ 確保法規頻譜遮罩
🧠 六、頻譜遮罩（Spectrum Mask）
通訊系統通常規定：
👉 某頻率範圍內可用能量
👉 超出範圍必須快速衰減
這就是頻譜遮罩的概念。
🧠 七、頻譜與系統容量
頻寬 B 越大：
👉 可傳輸資訊量越大
香農公式（概念式）：
C = B · log₂(1 + S/N)
表示：
✔ 頻寬直接影響容量
📌 一句話記住
頻譜 = 能量在頻率軸上的地圖
🧮 整合型實務數學題（含解析）
考慮訊號：
x(t) = A·cos(ω₀t)
(1) 寫出其頻譜 X(ω) 的結構
(2) 能量集中在哪些頻率？
(3) 若改為 x(t) = A·cos(ω₀t) + A·cos(3ω₀t)，頻譜如何改變？
(4) 說明此頻譜對通訊系統設計的意義
✅ 解析
(1) 頻譜結構
單一餘弦波在頻域中形成：
兩個離散尖峰：
ω = +ω₀
ω = −ω₀
(2) 能量集中位置
所有能量集中在：
±ω₀
其他頻率能量為零。
(3) 疊加後的頻譜
x(t) = A·cos(ω₀t) + A·cos(3ω₀t)
頻譜出現四個尖峰：
±ω₀
±3ω₀
表示能量分佈到兩組頻率。
(4) 工程意義
✔ 頻譜決定所需頻寬
✔ 頻率越多 → 頻寬需求越大
✔ 若通道只能通過某頻段，超出部分會被削弱或失真
因此工程師必須：
👉 控制訊號頻譜
👉 使其落在可用頻寬內
🎯 工程總結
✔ 頻譜顯示能量位置
✔ 頻寬代表佔用資源
✔ 頻譜限制來自物理與法規
