🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
• 用一句話說清楚「微觀 vs 巨觀 vs 等效參數」：微觀看粒子運動，巨觀看平均場量，工程用 ε/μ/σ 壓縮複雜度
• 分辨材料三種微觀反應：導電（自由電荷漂移）→ σ；極化（束縛電荷位移）→ ε；磁化（磁矩/迴圈電流）→ μ
• 建立「翻譯管線」：微觀機制 → 巨觀量 E/D/B/H/J → ε、μ、σ（含頻率依賴）→ RLC、反射、衰減、色散、EMI 等工程模型• 熟用三個常見巨觀關係：D=εE、B=μH、J=σE，並用直覺解釋它們對電容/電感/損耗與發熱的影響
• 了解巨觀近似的四大踩雷點：參數隨頻率變、非線性、各向異性、非均勻混材/多層結構造成平均失效
• 能把衛星/光通訊案例落地：radome εᵣ、tanδ 影響相位與增益；波導 n/損耗受溫度應力雜質影響；大氣等效介質亂跳導致波前扭曲
🧭 一、先抓住三個核心名詞：微觀、巨觀、等效參數
🔬 微觀（Microscopic）：看得到「電荷/偶極/電子運動」的尺度（原子、分子、晶格） 🌍 巨觀（Macroscopic）：工程上把材料視為連續介質，用平均量描述（E、D、B、H、J） 🧾 等效參數（ε、μ、σ）：把微觀複雜性「壓縮」成工程可計算的材料常數✅ 一句話： 微觀看“粒子怎麼動”；巨觀看“平均後的效果”；工程要的是“可用的 ε、μ、σ”。
🔬 二、微觀世界到底在發生什麼？（你看的是“電荷在材料裡的三種反應”）
材料在外加電場/磁場下，微觀會出現三種典型反應：
⚡ 1) 自由電荷漂移（Conduction） 電子/電洞在電場下產生漂移速度 → 形成導電電流 👉 這是 σ（導電率）的源頭
🧲 2) 束縛電荷位移（Polarization） 分子/晶格的正負電荷中心稍微分開 → 形成偶極矩 👉 這是 ε（介電常數）的源頭
🌀 3) 微電流迴圈/自旋（Magnetization） 原子軌道電流與自旋產生磁矩 → 形成磁化 👉 這是 μ（磁導率）的源頭
✅ 工程師要記住的一句話： σ 管“自由電荷”；ε 管“束縛電荷的位移”；μ 管“微觀磁矩的集體方向”。
🌍 三、為什麼工程一定要用巨觀？因為你不可能逐顆原子算
工程尺度下你面對的是：
📦 PCB、封裝、電纜、天線、波導、機殼、介質層… 每一個體積內都有天文數量的粒子。
所以巨觀的核心手法就是：
🧰 平均化（Averaging / Coarse-graining） 把微觀的細節（每顆電荷的位置與速度）用「平均場量」來表達： E、D、B、H、J
✅ 直覺翻譯： 巨觀不是假裝微觀不存在，而是把微觀的影響“打包成參數”。
🧩 四、工程的翻譯器：從微觀 → 巨觀 → 可用模型
你可以把這件事視為一個固定管線：
🔬 微觀（電荷/偶極/磁矩） → 🌍 巨觀場量（E、D、B、H、J） → 🧾 材料參數（ε、μ、σ，可能還有頻率依賴） → 🛠️ 工程模型（RLC、損耗、反射、衰減、色散、EMI）
✅ 一句話： 沒有微觀，你不知道參數從哪來；沒有巨觀，你就沒辦法做工程。
🧪 五、三個最常見的巨觀關係式：工程上你天天在用
在「線性、各向同性、均勻」的常見工程假設下：
📐 D = εE（介質的極化效應被 ε 打包） 📐 B = μH（磁化效應被 μ 打包） 📐 J = σE（導電效應被 σ 打包）
✅ 工程直覺：
- ε 決定你“存多少電場能量”與“電容有多大”
- μ 決定你“存多少磁場能量”與“電感有多大”
- σ 決定你“漏多少能量變熱”與“損耗多可怕”
🧮【數學補強 A｜極化 P 與 D 的關係：介質不是空氣】
巨觀下常寫：
D = ε₀E + P
其中 P 是極化向量（單位：C/m²），代表「束縛電荷造成的等效偶極密度」。
在線性介質下：
P = ε₀χₑE
因此：
D = ε₀E + ε₀χₑE = ε₀(1+χₑ)E = εE
其中 ε = ε₀εᵣ，εᵣ = 1+χₑ
✅ 工程直覺： εᵣ 越大，表示材料越“容易被極化”，同樣 E 下 D 越大 → 電容更大、場能量分佈也會改。
🧮【數學補強 B｜導電電流：J = σE（為什麼是線性？）】
在許多導體與半導體的工作區間，漂移電流密度近似線性：
J = σE
也可寫成電阻率 ρ = 1/σ：
E = ρJ
✅ 工程直覺： σ 越大（越導電）→ 在同樣 E 下 J 越大 → 更容易形成回流/漏電/損耗與發熱問題。
🧮【數學補強 C｜磁化 M 與 H、B 的關係】
常用關係式：
B = μ₀(H + M)
線性介質下：
M = χₘ H
因此：
B = μ₀(1+χₘ)H = μH
其中 μ = μ₀μᵣ，μᵣ = 1+χₘ
✅ 工程直覺： μᵣ 大代表材料更容易被磁化 → 同樣 H 下 B 更大 → 影響電感、磁芯儲能、漏磁與磁損。
🧠 六、工程上“微觀→巨觀”最常踩雷的四件事
⚠️ 1) 參數不是常數：ε、μ、σ 往往隨頻率改變（後面會接到色散與損耗） ⚠️ 2) 材料可能非線性（鐵磁飽和、介電非線性、功率下崩壞） ⚠️ 3) 材料可能各向異性（晶體、纖維、層狀介質） ⚠️ 4) 均勻假設會失效（多層介質、粗糙度、孔洞、封裝混材）
✅ 一句話： 你用巨觀，是因為它好算；你會出事，是因為你忘了它其實是“被平均過的近似”。
🛰️ 七、把“微觀 vs 巨觀”落地：衛星與光通訊最常見的三種材料陷阱
🛰️ 1) 相控陣天線 radome/外殼： 材料 εᵣ、tanδ（損耗角正切）一變 → 透波損耗與相位延遲就變 → 波束指向/增益掉。
🔦 2) 光纖/波導： 折射率 n（本質上來自 ε 的頻率行為）與損耗 α 受溫度、應力、雜質影響 → 插入損耗、耦合與相位漂移。
🌧️ 3) 大氣傳播： 大氣其實是隨時間變動的“介質”，等效折射率波動造成波前扭曲 → 星地光通訊難題本質就是「巨觀參數在亂跳」。
✅ 這些案例的共同點： 你最後看的都是巨觀參數（ε、損耗、n），但根源其實是微觀機制（分子、雜質、結構、溫度、應力）。
🎯 八、你要帶走的四個“翻譯”硬直覺
🔬 微觀：電荷/偶極/磁矩在動（真相） 🌍 巨觀：把真相平均後變成場量（可算） 🧾 ε、μ、σ：把複雜性壓縮成工程參數（可設計） ⚠️ 參數的適用性：頻率/溫度/應力/非線性會讓你“平均失效”（要升級模型）
✅ 九、本單元小結
🔬 微觀告訴你材料裡的電荷怎麼動； 🌍 巨觀把它平均成 E、D、B、H、J； 🧾 ε、μ、σ 是工程的參數化壓縮； ⚠️ 但頻率/溫度/非線性/各向異性會讓這套翻譯失效，必須更精細建模。
🧪 單元數學練習題
練習 1｜由 χₑ 推 εᵣ（介質極化的最基本翻譯）
已知某材料電極化率 χₑ = 3。 (1) 求相對介電常數 εᵣ。 (2) 若 ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m，求 ε。
✅ 解答解析： (1) εᵣ = 1 + χₑ = 1 + 3 = 4
(2) ε = ε₀ εᵣ = 8.85×10⁻¹² × 4 = 3.54×10⁻¹¹ F/m
練習 2｜用 D = εE 算位移向量
某線性介質 εᵣ = 2.5，自由空間 ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m。 若電場大小 E = 1000 V/m，求 D 的大小。
✅ 解答解析： ε = ε₀εᵣ = 8.85×10⁻¹² × 2.5 = 2.2125×10⁻¹¹ D = εE = 2.2125×10⁻¹¹ × 1000 = 2.2125×10⁻⁸ C/m²
練習 3｜用 D = ε₀E + P 反推極化 P
在某材料中量得： E = 500 V/m，且 D = 6.0×10⁻⁹ C/m²。 已知 ε₀ = 8.85×10⁻¹² F/m。求 P。
✅ 解答解析： D = ε₀E + P → P = D − ε₀E
ε₀E = 8.85×10⁻¹² × 500 = 4.425×10⁻⁹
P = 6.0×10⁻⁹ − 4.425×10⁻⁹
= 1.575×10⁻⁹ C/m²
練習 4｜導電：J = σE（把微觀漂移壓成一個 σ）
某材料導電率 σ = 5 S/m。若施加電場 E = 20 V/m，求電流密度 J。
✅ 解答解析： J = σE = 5 × 20 = 100 A/m²
練習 5｜磁化：由 χₘ 推 μᵣ，並算 B
某材料磁化率 χₘ = 0.2。 (1) 求 μᵣ。 (2) 若 μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m，且 H = 1000 A/m，求 B。
✅ 解答解析： (1) μᵣ = 1 + χₘ = 1 + 0.2 = 1.2
(2) μ = μ₀μᵣ = 4π×10⁻⁷ × 1.2 B = μH = (4π×10⁻⁷ × 1.2) × 1000 = 4π×10⁻⁴ × 1.2 = 4.8π×10⁻⁴
≈ 1.508×10⁻³ T（約 1.51 mT）
