為什麼 Shamir 秘密分享必須使用「質數模數」？

一、核心事實

Shamir 秘密分享的數學基礎是：

在一個「有限域（field）」上做多項式插值。

域（Field）

二、域需要什麼性質？

一個集合要成為「域」，必須滿足：

1️⃣ 加法、乘法封閉

2️⃣ 有加法單位元（0）

3️⃣ 有乘法單位元（1）

4️⃣ 每個非零元素都有乘法逆元

這最後一點最重要。

因為拉格朗日公式中有：

如果沒有逆元，公式會崩潰。

三、什麼情況下模運算是域？

考慮：

也就是 mod n 的整數集合。

事實：

這是代數基本定理。

四、為什麼非質數會出問題？

假設：

但：

• 2 ≠ 0
• 4 ≠ 0

這叫做：

零因子（zero divisor）

一旦存在零因子：

• 不是域
• 某些元素沒有逆元

例如：

2 在 mod 8 下沒有逆元。

因為：

無解。

五、拉格朗日公式在哪裡壞掉？

回憶公式：

如果：

在模 n 下沒有逆元，

整個插值就無法計算。

六、質數為什麼保證有逆元？

若 p 是質數，

則對任何：

七、唯一性證明也依賴域

插值唯一性證明：

有 n 個根。

但 n-1 次多項式最多只有 n-1 個根。

矛盾。

⚠ 這個結論成立的前提是：

在域上。

若有零因子，

多項式理論會崩壞。

八、實務層面

在 Shamir 中我們需要：

• 模數 p > 秘密值
• p 為大質數（例如 256-bit）

例如：

• 2²^⁵⁶−189
• 橢圓曲線常用質數

九、幾何直觀

• 質數模數 → 完整代數平面
• 非質數 → 會塌陷的結構

十、最深層原因總結

Shamir 需要質數模數的根本原因：

拉格朗日插值需要「每個非零元素可除」

而：

是最簡單的有限域。

十一、進階補充

其實不一定只能用質數。

還可以使用：

（質數次方有限域）

但本質仍然：

必須在域上運算。

一句話總結

質數模數不是為了「方便」，

而是為了確保數學結構是「域」， 否則秘密分享無法正確還原。