數學歸納法例題
(a)小題計算過程
(b)小題推測過程
(c)小題證明
「什麼時候才能用數學歸納法？」
數學歸納法的哲學意義是，當1代入時關係成立，且n成立時發現n+1時成立，那豈不是1成立2就成立，接著3也成立，因此到∞也成立？
所有數學歸納法適用的時機是：
1. 該命題要證明的範圍在自然數系中
2. 能透過「被歸納的訊息」找到「n和n+1 or n和n-1的關係」
以這題為例，題目列了2個式子a1…(1)和an…(2)，結果我們算了前幾項發現（歸納）an似乎符合另一個更簡潔的式子…(3)，但這個式子畢竟是我們「猜測」的，不能說一定對，這時候我們就想到透過「嚴謹的」數學歸納法來證明，只要能透過數學歸納法證明，那我們就能說一定對了。
那要證明什麼？證明「題目的2個式子可以符合我們猜測的那個式子(3)」
所以a1=1然後等於我們的式子(3)代入1，果然1的時候符合我們歸納出來的規律(3)
接著看看如果n=k時我們的歸納成立的話，那ak就相當於2k-1/k。
那有這個假設後，式子(2)代入k+1時能不能透過n=k的關係讓我們整理出n=k+1時a(k+1)=2(k+1)-1/(k+1)?
整個思路是這樣…
嘮叨解題技巧:
數學這門學科通常學生有2種學習方式，第1種是背題型，透過反覆的記憶和訓練把某種題型變成反射動作。第2種是訓練我們解決問題的理性思路，題目就是我們生活中面對的問題，而解題的過程其實是我們透過邏輯和推理排除困難的過程，這個過程一樣需要反覆練習，但練習的心法和重點在思考方式，最後某題型看到題目思考一下就會作答了不是因為它是第五型第三類第二種辦法，而是「這個問題和我思考過解決過的那個問題類似」。
第1種背題型的方法是背不完的，因為題型總共有n種，而n無窮大（誤），走這條路會覺得數學永遠無法被我們掌握，我們永遠只會我們練習過的題目。
所以目標和心法(心態)最好放在第2種，就像我們玩遊戲，遊戲規則下，我們玩角色扮演遊戲要怎麼做才能在花一樣的錢和時間下，得到更多獎勵？然後開始思考。
而不是「這次遊戲的活動和上次不一樣了，但是我試著把上次的練功步驟在這次活動中再試試看？」這種不靠譜的思路。
當然，純技巧的話也還是有一個，就是通常題目給的訊息都是「必須的」，所以解題時如果「有些訊息沒有用到」，那就要小心「我們是不是看不懂題目或是走錯方向了」
看懂解答後會需要蓋住解答再解題一次的真正原因，就是要驗證「我們看懂了解題步驟，解題步驟看起來好有道理，但我自己面對題目時『能不能也能冒出這些好有道理的想法』」，如果卡住了，就代表卡住的地方我們只是看懂有人會這麼做，而不是面對這個邏輯問題我們會這麼做，這時候就需要針對卡住的點再三研究，看看到底是我們對這個好有道理的方法掌握度低（例如配方法），或是其實我們對題目給我們的前提（工具）理解不透徹？…etc
直到我們能不靠解答把題目整個算過(推論過)一遍我們才能說我們會了這一題。
目前我們會感覺我們學習的目的是為了考試，但其實出社會後，我們不管是在工作上還是生活上，都會面對「無數沒有看過的題型」，而這時候我們學到的知識就是我們手上的工具，透過邏輯推理合理的使用我們手上的知識工具來解決我們遇到的問題才是學習的意義。
考試的意義在於這個社會透過「很多模擬的問題」，來考驗和衡量「學生解決各式問題的能力」
所以重點在「解決問題的能力」，我們才會說成績不重要，解決問題的能力今天比昨天更進步才是重要的，然後能力進步，成績進步也只是必然的結果。