🧭 導讀：電磁學真正的語言是偏微分方程
在電磁學中，我們描述的不是單一數值，而是：
▪ 電場分佈 E(x, y, z, t)
▪ 磁場分佈 B(x, y, z, t)
這些場必須同時滿足：
👉 空間變化
👉 時間變化
因此電磁學的數學本質是：
偏微分方程（PDE, Partial Differential Equations）
🧩 一、場是時空多變數函數（Unicode）
E = E(x, y, z, t)
B = B(x, y, z, t)
表示：
▪ 三維空間
▪ 再加上時間
👉 四維變數系統
🔬 二、二階偏微分開始主宰物理
在高階物理中，最常出現的是：
∂²/∂x²
∂²/∂y²
∂²/∂z²
∂²/∂t²
工程意義：
▶ 描述「彎曲程度」
▶ 描述「波動行為」
⚙️ 三、拉普拉斯算子（Laplacian）
定義為：
∇²f
= ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²
工程意義：
👉 場在空間中的「擴散／彎曲強度」
🧠 四、電磁波方程的數學骨架
在自由空間中，電場滿足：
∇²E = (1/c²) ∂²E/∂t²
磁場滿足：
∇²B = (1/c²) ∂²B/∂t²
這類型方程稱為：
👉 波動方程（Wave Equation）
🛰️ 五、工程意義
偏微分方程讓工程師能：
▪ 預測電磁波如何傳播
▪ 分析反射、繞射、衰減
▪ 設計天線、雷達、光纖、波導
🧾 六、工程版一句話總結
電磁學 = 偏微分方程 + 邊界條件。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 一階偏微分 → 變化率
✔ 二階偏微分 → 波動與彎曲
✔ ∇² 是場論的核心算子
📝 實務題：驗證一維波動方程解
✅ 練習題：檢查是否為波動方程解
考慮函數：
u(x, t) = sin(kx − ωt)
其中 k、ω 為常數。
請驗證 u(x, t) 是否滿足一維波動方程：
∂²u/∂x² = (1/c²) ∂²u/∂t²
並求出 c 與 k、ω 的關係。
🔍 解析
🧠 第一步：先對 x 做二階偏微分
u(x, t) = sin(kx − ωt)
一階：
∂u/∂x = k cos(kx − ωt)
二階：
∂²u/∂x²
= −k² sin(kx − ωt)
因此：
∂²u/∂x² = −k² u
🧠 第二步：再對 t 做二階偏微分
一階：
∂u/∂t = −ω cos(kx − ωt)
二階：
∂²u/∂t²
= −ω² sin(kx − ωt)
因此：
∂²u/∂t² = −ω² u
✏️ 第三步：代入波動方程
左邊：
∂²u/∂x² = −k² u
右邊：
(1/c²) ∂²u/∂t²
= (1/c²)(−ω² u)
要成立：
−k² u = −(ω² / c²) u
消去 −u：
k² = ω² / c²
✅ 得到關係式
c = ω / k
🧠 工程直覺總結
✔ sin(kx − ωt) 代表向 +x 方向傳播的波
✔ k 決定空間變化快慢（波長）
✔ ω 決定時間振盪快慢（頻率）
✔ c 是波速，由材料或介質決定
