🧭 導讀：工程師處理的不是點，而是場
前面單元：
▪ 二重積分 → 面上的累積▪ 三重積分 → 體積中的累積
但在高階工程中，我們更常處理：
▪ 電場分佈
▪ 磁場分佈
▪ 溫度場
▪ 壓力場
這些都屬於：
場（Field）
🧩 一、什麼是場？（Unicode）
場表示：
▪ 每一個空間位置
▪ 都對應一個物理量
常見表示：
E(x, y, z) → 電場
B(x, y, z) → 磁場
T(x, y, z) → 溫度場
🔬 二、能量密度的概念（Unicode）
能量密度：
u(x, y, z)
意義：
每單位體積所包含的能量
⚙️ 三、由能量密度到總能量（Unicode）
E_total = ∭_V u(x, y, z) dV
工程語言：
▶ 把空間中每一小塊能量全部加起來
🛰️ 四、電磁場中的例子（Unicode）
電場能量密度：
u_E = (1/2) ε |E|²
磁場能量密度：
u_B = (1/2) μ |H|²
總能量：
E_total
= ∭_V [ (1/2) ε |E|² + (1/2) μ |H|² ] dV
🧠 五、為什麼一定要用多重積分？
因為：
▪ 能量在空間中不均勻
▪ 單點數值沒有物理意義
▪ 必須對整個體積做累積
🧾 六、工程版一句話總結
場論中的所有「總量」，本質上都是多重積分。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 先找密度
✔ 再對空間積分
✔ 就得到總量
📝 練習題
✅ 練習題：球形區域內的能量
某能量密度分佈為：
u(r) = k r²
其中 r 為到原點距離，k 為常數。
求半徑為 R 的球體內總能量。
🔍 解析
🧠 第一步：觀察對稱性
u 只與 r 有關 → 球對稱
👉 選用球座標
🔁 第二步：體積元素（球座標）
dV = r² sinθ dr dθ dφ
📐 第三步：積分範圍
0 ≤ r ≤ R
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ φ ≤ 2π
✏️ 第四步：建立三重積分
E_total
= ∭_V k r² dV
= ∫(φ=0→2π) ∫(θ=0→π) ∫(r=0→R)
k r² · r² sinθ dr dθ dφ
= k ∫(0→2π) dφ ∫(0→π) sinθ dθ ∫(0→R) r⁴ dr
🧮 第五步：逐項計算
∫(0→R) r⁴ dr = R⁵ / 5
∫(0→π) sinθ dθ = 2
∫(0→2π) dφ = 2π
✅ 最終答案
E_total
= k · (2π) · 2 · (R⁵ / 5)
= (4πk / 5) R⁵
🧠 工程直覺總結
✔ 場 → 先看對稱性
✔ 密度 × 體積元素 → 積分
✔ 結果代表整個空間的總能量
