數與人系列：數字運算的雙重性

雖然一般人多認為數學運算是理性的，但許多自然學家其實對數字的合理性懷抱著疑惑。從數學物理學家 Eugene Wigner 的文章 「The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences」在科學界引起廣泛討論即可窺見這種微妙的雙重性。

人可以定義「數字」的概念，但「數字」和 「運算」一但被定義出來，似乎又有了自己的生命，不受發明者的控制。數學家可以定義「符號」概念是什麼，但又似乎無法掌握「符號」會創造出什麼。「數字」是一種會自行創造規律的符號，數學家的工作只是在「發現」這套符號系統中所蘊藏的規律，並不見得要預見這套規律與在現實中的意義。

當然，數學家可以很宅，很超於物外，好的自然學家最關心的還是現實，數字只是發現自然規律的工具，所以會不停追問「數字的現實意義」，也難免遇見心理上無法接受的數字模式。

在數字的四則運算中，除法似乎是最能令數字人抓狂（或著迷）的運算。

1/2 = 0.5 似乎相當合理，但是，1/3 = 0.33333⋯⋯ 究竟是什麼？

再往下算算 1/4 = 0.25 ， 1/5 = 0.2 回復理性之後，又冒出來 1/6 ＝0.66666⋯⋯，而接下來的 1/7 ＝ 0.142587142587⋯⋯ 的規律性又代表著什麼？

當然，你可以說，小數點本身就是無理的，小數點讓數字人陷入了圓周率的奇幻漂流。

從幾何的角度出發，所謂「圓周率」就是圓周和直徑的比率，而且不管圓的大小，都擁有相同的圓周率。一切似乎都非常合理。

但是，看看下面的影片，pi 這玩意兒在小數點之後居然有這麼多數字而且不會循環，真的是太無理了，是吧？

於是，數字人決定將無法用兩個整數表現的數字，例如圓周率，叫做「無理數」。

不過，就心理層面來說，除法雖然令數字人困惑，但其實減法對大多數人的生活所帶來的負擔其實更為真實。

比如說，你有一個池子，裡頭不知道有多少魚，你只知道你從來都沒有放魚苗到池子裡，而且每天都要從池子裡撈出一條魚請客。最後，終於，你的池子裡一條魚也沒有了，但你依舊想每天撈一條魚請客，怎麼辦呢？

笛卡兒（ Descartes ）認為：「比『無』還小的數是不存在的。」所以，沒有魚就是沒有魚了！不只笛卡兒這麼想，帕斯卡 ( Pascal ) 也這麼認爲：「從零減去一還是零。」

在「負數」的觀念上，中國應該是世界上最早開竅的國度，據說，中國在大約西元前二世紀就認識到了「負數」的存在。人們在籌算版上運算的時候，就用黑籌表示負數，紅籌表示正數。

當然，到了近代的會計學，虧損是用紅色來表示，所以才會用「赤字」一詞來表示政的虧損。

所以回到魚的故事，什麼是「負一條魚」？ 應該就是儘管自己的池子裡已經沒有魚了，但你還是每天都準備了一條魚請客。

池子裡明明沒有魚了，卻還是每天有魚吃，說起來還真是幸運。只是如果看著空著的魚池，心中有數的人難免要焦急的，這就是「負數」的 「負面心理效果」。

所以，數字人雖然發明了「負數」，但心中其實很不喜歡負數，也很不想面對負數。

不過，在負數的世界中，有一個不可思議的性質，叫「負負得正」，這是怎麼來的呢？

以上述魚的例子來說明，自己的池子裡已經沒有魚了，但你還是每天有一條魚吃，過了100天後，你就有了「負100條魚」。這可以用 －1 ×100 求得。

那麼，如果，問題變成，雖然你現在的池裡沒有魚。但在過去100天裡，你每天都撈一條魚吃，請問你的池子原來有幾條魚？

答案應該是 －1 × －100 ＝ 100 吧！

當然，時光不能倒流，所以我們也回不去那池裡有一百條魚的好時光了。

我們應該是想想如何改進我們的制度，讓我們的未來更美好吧？ 如果說，我們要讓罷免成為選舉制度的一部分，甚至常態，也許我們也該考慮如何讓「罷免」的行使更合理，其中自然也包括在選舉時就加入負數票的觀念。

在這充滿負數的時代，就讓我們期待「負負得正」的情勢出現吧！