【數學】利用高中數學分析平方募資法（Quadratic Funding）
更新於 發佈於 閱讀時間約 11 分鐘
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這幾天剛好看到 V 神介紹有關平方支付的文章，他基於平方投票法的概念，提出了平方募資（Quadratic Funding）的概念，冬冬發現有平方募資法有些部分可以用高中數學就可以解釋了，因此想針對這個內容進行一些探討。
前面會簡單的介紹各種概念，比較沒有數學的內容，相關的數學證明會放在最後，有興趣的朋友可以看看。
在介紹平方募資法之前，先介紹平方投票法。
平方投票法（Quadratic Voting）
我們常見的投票法是一人一票，這樣的投票法會有一些問題，以下先介紹一人一票的問題。
一人一票（1p1v）
一人一票為就像是學校選幹部的情況，誰的票數多誰就當選，雖然這樣的投票方式簡單直觀，但是這樣的投票方式會有一些缺點，我們舉例說明如下：
- 例如班上有一半的人投了廢票，最後票選出來的結果，可能不見得可以做為班上大多數人的意見，也就是說，這樣情況選出來的結果，不一定可以做為這群人的代表性的意見。
- 雖然民主國家是以一人一票為主，但是在分配官方資源或補助時，一人一票的機制對於一些社會弱勢或少數人的權益，就容易被淡化掉。
- 在比較專業的議題上，每個人的深入程度不同，我們的一票與專家學者的一票卻是等值的，這樣的情況是否合理？
基於以上的幾個問題，那麼有沒有另一種機制可以放大專業相關人士、或是關心相關議題人士的影響力（票數）呢？
一元一票（1d1v）
一元一票的概念在於：如果你想要有更多的影響力（票數），你就要為此付出更多的成本（這裡的成本可能是金錢、時數、貢獻、點數等，為了方便起見，以下用金錢做解釋）。
一元一票顧名思義就是每一塊錢可以投一票，反過來說，如果你想投 100 票，就要付出 100 元。
在這樣的情況下，雖然可以放大一些貢獻較多的人之影響力，但是，如果在真實社會的金錢運作下，就會有錢人或是資本直接影響整個社會的決定。
因此，有沒有什麼方法可以讓每一塊錢的影響力（所代表票數）減少一些呢？反過來說，當我們要投越多票時，付出的成本也要隨之提升。
平方投票法（Quadratic Voting）
「一元一票」總成本與票數的關係為線性關係，而「平方投票法」將總成本與票數變為平方的關係。簡單來說，就是你想要投 n 票數與所付出總成本就是 n²，如下圖所示。
這樣的投票法當票數很多時，花費的成本會快速地變多，我們以 1 票、2 票、99 票與 100 票為例：
- 「一元一票」的情況下：
1 票要付 1 元，2 票要付 2 元，增加了 1 元；
99 票要付 99 元，100 票要付 100 元，還是增加 1 元。 - 「平方投票」的情況下：
1 票要付 1² 元，2 票要付 2² 元，增加了 3 元；
99 票要付 99² 元，100 票要付 100² 元，增加了 100²−99²=199 元。
也就是說，在平方投票的情況下，當我們想要發揮更大的影響力時，所需要的總成本就會以平方的速度快速地增加，以避免有錢人進行龐大的資金運作。
反過來說，如果總共付出了 n 元，那麼我們的影響力（或票數）就會只有根號 n （即√n）而已，例如如果總共付出了 40000 元，我們的票數就是 √40000=200 票。
平方募資法（Quadratic Funding）
在 2018 年，以太坊創辦人 Vitalik Buterin 與 Zoë Hitzig 和 Glen Weyl 基於平方投票的方式，提出「平方募資法」這樣資金分配概念。
這裡的資金分配可能是政府提供給公共建設的預算、或是慈善機構的捐款等。而需要被捐助的專案可能有很多種，每一種對於大家的受益都不一樣，像這樣情況下，資金要怎麼進行分配呢？以下分成三個步驟：
步驟一：資金的分類
首先，將資金分成「官方補助」與「個人捐款」。
- 官方補助：官方（例如政府、基金會等）有一筆錢要捐助給許多的專案。
- 個人捐款：以每個人的名義作為捐款，對於某一個專案來說，有人捐款 n 元，代表他對於這個專案投了 √n 張票，也代表他願意支付這麼多的成本去發揮其影響力。
步驟二：從個人捐款計算其影響力票數
接著，把所有個人資金捐款對應的影響力轉換成「票數」進行相加，例如下圖專案甲中，A, B, C, D 四人分別捐助了 1, 1, 4, 9 元，總共 15 元，其票數為 1, 1, 2, 3 票，總計有 7 票。
而上圖的專案乙中，A, B, C, D, E, F 六人分別捐助了 1, 1, 1, 4, 4, 4 元，總共也是 15 元，但是其票數為 1, 1, 1, 2, 2, 2 票，總計有 9 票。
也就是說，在兩個專案個人資金捐助加總皆相同的情況下（都是15元），專案乙吸引了比較多人的關注，或是說專案乙可能會造就比較多人的福利。
如此一來，將官方或政府的資金分配比較多給專案乙也是個合理的設計。
步驟三：依據影響力票數分配官方補助
在 V 神的文章中所設計的資金分配公式為
每個專案獲得的總金額=步驟二計算出來的影響力票數的平方。
我們以上述兩個專案為例說明如下：
- 專案甲獲得的總金額就是 7²=49 元，其中 15 元來自「個人捐款」，也就是說，「官方補助」的部分為 49-15=34 元。
- 專案乙獲得的總金額就是 9²=81 元，其中 15 元來自「個人捐款」，也就是說，「官方補助」的部分為 81-15=66 元。
從以上的例子發現，在平方募資法的設計下，同樣兩個專案都是獲取個人捐款 15 元，但是專案乙可以獲得較多的官方補助。
上述的甲乙兩專案的平方募資法也可以用以下的兩個圖來說明。
其中專案甲圖中的 1, 1, 4, 9 就是 4 個人的個人捐款共 15 元，其對應的票數就是各自開根號，在幾何表示上就是正方形的邊長 1, 1, 2, 3，將這四個邊長相加後得到邊長為 7 的正方形，最後 7²=49 就是專案甲獲得的總金額，其中 15 元（白色部分）來自「個人捐款」，而「官方補助」的部分就是黃色的面積 49-15=34 元。
而專案乙圖中的 1, 1, 1, 4, 4, 4 就是 6 個人的個人捐款共 15 元，其對應的票數就是各自開根號，在幾何表示上就是正方形的邊長 1, 1, 1, 2, 2, 2，將這四個邊長相加後得到邊長為 9 的正方形，最後 9²=81 就是專案乙獲得的總金額，其中 15 元來自「個人捐款」，而「官方補助」的部分就是黃色的面積 81-15=66 元。
平方募資法可能產生的問題
這麼一來，就會去思考一件事：在同樣 15 元的個人捐款下，怎麼樣的情況會是最少的官方補助、而又要怎麼樣的情況才能拿到最多的官方補助呢？
觀察以上的兩張圖發現：白色正方形（個人捐款的人數）越多的情況下，整個大正方形的面積會越大，而黃色面積（官方補助）也會越大。
因此，在總金額相同都是 15 元的設定下，我們就可以討論兩種最極致的情況：
- 最少人數的個人捐款：也就是只有１個人捐款，這個人捐了 15 元，其影響力票數為 √15；所以專案獲得的總金額就是 (√15)²=15 元，其中 15 元來自「個人捐款」，也就是說，「官方補助」的部分為 15-15=0 元，如下圖左所示。
- 最多人數的個人捐款：如果限定每個人至少要捐 1 元的情況下，最多就是 15 人，其影響力票數為 1+1+⋯+1=15；所以專案獲得的總金額就是 15²=225 元，其中 15 元來自「個人捐款」，也就是說，「官方補助」的部分為 225-15=210 元，如下圖右所示。
事實上，在個人捐款總金額 T 固定的情況下，如果每個人至少捐 1 元，整個專案可獲得的補助會介在 T 到 T² 之間（證明請見附錄）。
除此之外，還有其他更深入的數學探討，有興趣的人可以看 V 神的論文。
其實，從上圖可以發現，如果有心人想操作並放大專案的補助，方法就是找很多的人頭來進行捐款（區塊鏈上稱做女巫攻擊），此時，如果官方想要避免這樣的問題，可以從以下兩點著手：
- 進行每個人的身分驗證
- 拉高每個人捐款金額的門檻
【延伸閱讀】女巫攻擊可以參見👉【名詞解釋】我不是故意要做女巫攻擊的⋯🥲
- GITCOIN 其中一項服務就是以太坊上的眾籌與捐助的平台，以太坊上的項目方或開法者可以跟以太坊基金會進行申請，並利用平方募資法進行個人捐款的眾籌與項目資金的分配，更多詳情請見Gitcoin：以太坊生態的「軍火庫」。
- Clr.fund（讀作Clear Fund）也是將資金分配給對以太坊有貢獻的公共協議，略有差異的部分是它會利用 BrightID 作為個人捐款的身分認證，以避免上述提到的女巫攻擊，此外，捐款的金額直接藉由智能合約來操作，並利用 MACI 的投票系統來防止共謀與買票，更多詳情請見CLRFund 簡介。
延伸閱讀
👉【數學】用高中數學算出比特幣BTC總量
【附錄】利用高中數學分析平方募資法
在個人捐款總金額 T 固定的情況下，如果每個人至少捐 1 元，整個專案可獲得的補助會介在 T 到 T² 之間。
【證明】
(1) 專案可獲得的補助最大值為T²
設每個人的捐款金額為 xᵢ，共有 n 人捐款（ｎ為正整數），也就是說，
由募資平方法可得其影響力票數為
且專案獲得的總金額為
利用柯西不等式可得
又因為每個人最少捐 1 元，即 1≤n≤T，所以得到專案可獲得的補助最大值為
(2) 專案可獲得的補助最小值為T
利用乘法公式中的 n 項完全平方和公式，將專案補助展開可得
又因為個人捐款總金額為T，且 xᵢ≥0，所以由上式可得
有興趣的人可以自行推導等式在甚麼情況下成立哦。
想一想
如果每個人的捐款下限改成 p，以上的範圍會怎麼改變呢？
如果沒有限制每個人的捐款下限，會造成什麼情況呢？
加密貨幣屬於高風險的投資，大家一定要做好自己的研究與風險管控，而且加密貨幣的資訊更新速度快、波動幅度大，如果想進幣圈的話，就要有保持高速學習的心理準備，所以如果你真的不懂的話，就千萬不要碰！
參考資料
- Quadratic Payments: A Primer（Vitalik, 2019）
- Liberal Radicalism: A Flexible Design For Philanthropic Matching Funds（Vitalik, 2018）
- 平方投票法（wiki）
- Quadratic Funding 平方募資
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對於區塊鏈的人物、機構很陌生嗎？這個專欄以速寫、條列式的方式，帶你快速一覽幣圈中有影響力的人的簡單履歷，也簡單介紹 Web 3 的投資機構或建設團隊，讓你慢慢認識這個 Web 3 的世界
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4-1 機率的基本概念
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投擲
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題目敘述
題目給定一棵二元樹，整棵樹剛好有n個節點 和 總共n枚金幣。
每個節點的值代表該節點初始擁有金幣的數量。
每回合可以給周圍的節點一枚金幣，請問最少需要幾回合才能讓所有節點恰好擁有一枚金幣?
原本的英文題目敘述
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