【數學】用高中數學算出比特幣BTC總量
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大家常常說，比特幣每四年會減半、總量有 2100 萬個，但是礦工每天都在挖，那比特幣減半的時間和它的總量是怎麼算出來的呢？
其實只要利用高中的數學就可以算出來囉！
比特幣多久會減半？
這裡先簡單的說明一下比特幣的挖礦：全世界有許多的電腦（稱為礦機）協助比特幣鏈上確認交易沒問題後並記帳（交易驗證與打包後生成 1 個區塊），而這些協助的礦機因為他們的工作可以獲得比特幣作為獎勵。
比特幣的白皮書上提到：
(1) 大約每 10 分鐘就可以生成 1 個區塊（記一次帳）
(2) 每經過 210,000 個區塊後，比特幣的獎勵就會減半根據以上的兩點，我們可以計算出比特幣多久會減半：因為１個區塊約 10 分鐘，每 21 萬個區塊會減半，所以得到
10分鐘×21萬 = 210萬分鐘
= 3.5萬小時 ≒ 1458天 ≒ 3.99年。
= 3.5萬小時 ≒ 1458天 ≒ 3.99年。
由以上的式子可以得到，比特幣大約每 4 年會減半，不過實際的時間不是這麼精準的 4 年一到就減半，這就好像當我們進行重複的工作時，時間不會那麼剛好每次都一樣，同樣地，生成 1 個區塊的時間不會那麼剛好每次都是 10 分鐘。
如果有興趣的朋友，可以看這個減半倒數計時網站。
比特幣總量有多少呢？
我們知道比特幣每 21 萬個區塊就會減半之後，那麼比特幣的總量是怎麼算出來的呢？根據白皮書我們可以知道：
(1) 每經過 21 萬個區塊後，比特幣的獎勵就會減半
(2) 一開始每個區塊的獎勵為 50 顆比特幣接下來為了方便解釋起見，我們將每 21 萬個區塊稱為一個週期，第 1 個週期就是前 21 萬個區塊。
因為在第 1 個週期中每個區塊的獎勵為 50 顆比特幣，又 1 個週期有 21 萬個區塊，所以第 1 個週期會產出 50顆×21萬=1050萬 顆比特幣，而第 2 個週期數量減半後，變為 525 萬顆，以此類推，可得：
- 第 1 個週期：1050 萬顆
- 第 2 個週期：525 萬顆
- 第 3 個週期：262.5 萬顆
- 第 4 個週期：131.25 萬顆
- 第 5 個週期： ⋮
因此，比特幣的總量就是
1050+525+262.5+131.25+⋯ 萬顆。
那麼以上的式子要怎麼計算呢？我們先複習一下高中的數學。
高中數學⋯你是忘記了，還是害怕想起來？
在高中我們學過如何將循環小數化成分數，例如下圖我們先將要求的循環小數設為 S，然後乘上 10 倍後兩式相減。
兩式相減後，小數點後面的２都可以消掉，所以就可以得到 9S =2，因此就可以把循環小數化成分數了。
利用以上的方法求比特幣的總量
利用同樣的方法我們將比特幣的總量設為 S（單位：萬顆），然後乘上 1/2 後兩式相減，如下圖所示。
兩式相減後，等號左邊剩下 0.5S，等號右邊「525+262.5+⋯」的部分都會消掉，只剩下 1050，由此得到 0.5S=1050，故求得 S=2100（萬）。
因此，我們就可以知道比特幣的總量為 2100 萬顆。
【進階】更多細節
以上是比特幣總量近似值的估計，事實上，白皮書裡提到：
比特幣總共會發生 32 次減半。
也就是說，減半 32 次之後，就不會再有更多的比特幣產生（屆時礦工協助記帳的獎勵皆來自於用戶交易的手續費gas fee）。
根據以上的訊息，如果要精算比特幣的總量，它會是一個首項 a=1050（萬）、公比 r=0.5、共 n=33 項的等比級數。
這裡我們可以利用高中學過的等比級數的和公式（下圖）來求其總量。
利用等比級數的和公式，比特幣的總量（a=1050、r=0.5、 n=33）計算如下：
也就是說，實際上，比特幣總量會比 2100 萬顆少一點點，大概少個 0.0024⋯ 顆左右。這也是為什麼大部分都會說比特幣的總量為 2100 萬顆的緣故。
延伸閱讀
【數學】利用高中數學分析平方募資法（Quadratic Funding）
其實高中數學真的滿有用的，只是大多數人生活中不一定會用到、或是很多人要用的時候沒有想到，如果有任何數學的問題，歡迎留言告訴我哦！
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