[十分鐘個經] Ch.2 (2) 反正我也沒差--無異曲線(Indifference Curve)

　　各位好，歡迎回到伍德的十分鐘個體經濟學。上一次的專欄裡我們提到經濟學家用效用(Utility)來衡量人們拿到商品時的開心、滿足程度，也聊到關於效用的重要概念：邊際效用(Marginal Utility)，亦即當多擁有一個商品時，多出來的滿足程度。

　　上次的討論裡，我們假設市場上只有一種商品，但這顯然太過簡化。我們今天討論當市場上有兩個商品時，關於效用的種種概念。讓我們從所謂的「無異曲線」(Indifference Curve)開始聊起。

無異曲線 (Indifference Curve)

　　首先明顯可見在固定x₂的數量之下，效用隨著x₁數量上升而跟著上升，反之亦然。這代表x₁和x₂都是好商品(Goods)。

　　不同的組合可能有相同的效用水準，例如(x₁,x₂)=(4,6)、(12,2)、(3,8)等等，總效用都是24。我們可以把這些組合在圖上連結起來：

無異曲線示意圖。綠色箭頭代表效用往右上方遞增。

　　同一條曲線上，效用水準都一樣，對消費者都無異(Indifferent)，也因此這些曲線被稱為「無異曲線」(Indifference Curve)。在同一條無異曲線上，若x₁增加，x₂必須減少，否則效用應該要增加(消費者更開心)；反之亦然。越往右上方的曲線代表效用水準越高、消費者越開心。另一方面，在隨便一條無異曲線上取兩點連線，中間的任何一點都有更高的效用，這是我們之前說過的凸性(Convexity)。

　　另一個關於無異曲線的重要性質是它們不可能相交。證明如下：

　　證明：假設無異曲線真的像上圖相交了。因為在同一條無異曲線(紅色)上，A和B的效用相同。同理因為在同一條無異曲線(橘色)上，A和C的效用相同。由前可知B和C的效用相同。可是明明C的商品量比B還多，照理來說C要比B的效用更高才對，由此矛盾。無異曲線因此不可能相交。

邊際替代率(Marginal Rate of Substitution; MRS)

　　給定效用函數U(x₁,x₂)，我們也可以對兩種商品分別定義邊際效用(Marginal Utility)。舉例來說，對x₁的邊際效用，代表在固定x₂數量下，增加一單位的x₁所帶來的滿足程度。在數學上是偏微分的概念：MU₁=∂U(x_1,x₂)/∂x₁。在前面的U(x₁,x₂)=x₁x₂，MU₁就明顯是∂U(x_1,x₂)/∂x₁=∂(x₁x₂)/∂x₁=x₂。舉例來說，當x₁=4、x₂=6時，固定x₂=6，此時再增加一單位的x₁，效用會增加x₂=6。

　　同理，我們也能定義對x₂的邊際效用，為在固定x₁數量下，增加一單位的x₂所帶來的滿足程度。亦即MU₂=∂U(x_1,x₂)/∂x₂。若U(x₁,x₂)=x₁x₂，MU₂=∂U(x_1,x₂)/∂x₂=∂(x₁x₂)/∂x₂=x₁。

　　單單只有邊際效用本身用處其實不大。我們在上次的討論也提過，效用沒有單位，而本身的數值大小也不重要。但是它們的比值就很有經濟意義了。我們看下圖：

邊際替代率(MRS)

　　在一條無異曲線上取一點A及它的切線。這個斜率(的絕對值)代表當x₁增加1單位時，x₂必須減少多少才能使總效用不變。換句話說，這代表消費者願意放棄多少x₂來換取1單位的x₁。這個數值我們稱為邊際替代率(Marginal Rate of Substitution；MRS)，在每個(x₁,x₂)都不同。由於是取斜率，我們定義MRS=|dx₂/dx₁|_U|_：固定效用水準(U)，取x₂對x₁的微分。說白話點就是取圖上的斜率(的絕對值)*2。

　　而事實上，我們有個更方便取MRS的方法：

MRS=|dx₂/dx₁|_U|=|MU₁/MU₂|=|[∂U(x_1,x₂)/∂x₁]/∂U(x_1,x₂)/∂x₂|

　　換句話說，MRS其實就是邊際效用的比值。

　　如果今天伍德教的是數學系大二以上的學生，伍德可以說一句這是「隱函數定理」(Implicit Function Theorem)的應用，就繼續往下教。不過科普專欄不能這樣。我們用經濟直覺講一下怎麼回事。

　　所謂的邊際替代率(MRS)指的是在固定效用水準下，願意為多得到1單位的x₁放棄多少x₂。而得到1單位的x₁可以得到邊際效用MU₁。相對地，放棄1單位的x₂會損失邊際效用MU₂。因此，若要讓效用保持不變，要放棄的x₂數目自然就是MU₁/MU₂了。

　　舉例來說，我們前面一直使用U(x₁,x₂)=x₁x₂。而MU₁=x_2，MU₂=x₁。因此MRS=MU₁/MU₂=x₂/x₁。在x₁=4、x₂=6該點，MRS=6/4=1.5。代表如果想讓效用水準不變，消費者此時願意放棄1.5個x₂來換1個x₁。

　　關於MRS有個很重要的假設：我們一般假設MRS遞減。

MRS遞減

　　在同一條無異曲線上，MRS會隨著x₁增加遞減。從圖上來看，在A點的切線斜率絕對值(MRS)還很大，到了B點則相對平坦。從經濟直覺來說，在A點時手上沒有多少x₁，反而x₂很多。消費者願意放棄多一點的x₂來交換x₁。而在B點，x₁已經很多了，反而x₂很少，消費者不太想放棄x₂去換取x₁。

　　事實上，如果我們假設偏好和效用是凸性(Convex)的，也就是消費者偏好平均勝過極端消費，那麼MRS就會遞減。證明恕略。

　　這裡的懶人包：我們一般假設無異曲線長得都像上面的彎曲L型、而且往右上增加效用水準。如此一來兩個商品都是好的、偏好是凸性的、而且MRS會遞減。

壞商品

　　我們之前提過，市場上不見得只有好事，也有犯罪、汙染這類大多數人討厭的「壞商品」。當市面上也有這種商品時，無異曲線會長什麼樣子呢？

紅色、黃色和藍色為三條無異曲線，效用往綠色箭頭方向增加

　　上圖中，效用往右下角增加，代表越多x₁消費者越開心、但反而越少x₂消費者越開心。這代表x₁是個好商品、而x₂則是壞商品(Bad)。舉例來說可能是商品和汙染的組合，我們必須決策願意承擔多少汙染來生產產品。理想上我們一點汙染都不想要，但沒有商品就無法過活；又或著是休閒和工作的組合，通常人是喜歡休閒、而不那麼喜歡工作的，但不是人人都過得起天天24小時休閒的生活*3。人們無法完全避開壞商品，必要時仍得取捨。

　　在圖上，A和C兩點有相同的x₂。而C點比起A點有更多的x₁。換句話說，在同樣的汙染水準下，C點比A點擁有的商品數量更多，消費者更開心。而比較B點和C點，雖然B點的商品數量更多，但相對汙染水準也比較高，消費者取捨下更偏好C點。

　　最後來比較A點和B點。這兩點在同一條無異曲線上，代表消費者的效用水準一樣。而在A點，消費者願意忍受多一點汙染來交換多一單位的x₁，因為x₁還很小；在B點，消費者就不太願意為了增加x₁而忍受污染(斜率遞減)。這其實也反映了MRS遞減。

　　同樣地，我們也可以畫出x₁為壞商品、x₂為好商品；又或著是兩者都是壞商品的無異曲線，就留給各位練習。

接下來呢？

　　今天我們聊到當市場上有兩種商品，將效用水準相同的組合相連可以得到消費者的無異曲線。它們不會相交。而無異曲線的斜率被稱為邊際替代率(MRS)，代表消費者願意為了一單位的x₁放棄多少x₂。一般我們假設MRS是遞減的，也符合經濟直覺。

　　在下次我們繼續來聊常見的無異曲線的例子。商品間可能是相互替代(Substitution)、就像同是汽水的七__和雪__、也可能是互補的(Complement)，像是咖啡和奶精。我們會聊聊這些怎麼反應在效用上，並畫出相對應的無異曲線。

　　那麼我們下次伍德的十分鐘個體經濟學專欄見！

*1. 假設只有一種商品時，我們無法如此分析。當市場上有兩種商品時、且效用為凸姓(Convex；見Ch 1)時，我們可以把市場簡化為感興趣的其中一樣商品，以及「其他商品」。這是個體經濟學方便的「複合商品定理」(Composite Commodity Theorem)。

*2. 有的課本定義MRS時不取絕對值，數學上比較方便，但是在討論經濟直覺(大小)時比較癟腳。伍德這裡用有絕對值的版本。轉化為邊際效用比值時也不用煩惱正負號的問題。

*3. 我們會在最後幾章討論工作和休閒取捨的模型。