歡迎大家回到伍德的十分鐘個體經濟學。上一期的專欄我們提到經濟學家用偏好(Preference)的概念來記錄一般人對商品的喜好，並且要求理性的偏好至少要是完備的(Complete)以及遞移的(Transitive)。只不過要討論偏好，幾乎每次都得把數不盡的商品組合中兩兩抓出來問，實在很不方便。也因此，何不乾脆就給每個商品一個分數，這樣要比較喜好就容易得多？而這個分數，在經濟學上就被稱為「效用」(Utility)。
效用(Utility)
市場上眾多商品，比起建構偏好需要兩兩比較，在了解效用時，我們問的問題更直接。
請問給你商品X，你有多滿足？能不能給個分數？舉例來說，對某個消費者來說蘋果是50、橘子是60、香蕉是40，這些分數就被稱為效用(Utility)。由此得知這個消費者最喜歡橘子、其次是蘋果，最後才是香蕉。我們可以記成U(蘋果)=50、U(橘子)=60、U(香蕉)=40。這樣假設又多進了一樣商品芒果，我們就可以直接問消費者U(芒果)；假設U(芒果)=55，我們就能很輕鬆地將它跟其他商品做比較。
所以說白了，效用U(.)這個函數將消費者在持有商品時的滿意程度數值化，進而排序。也可以想成我們給每個商品一個分數，做為比較基準。而每個人喜好不同，給出的分數排序也就不同。
那麼效用跟我們在第一章學過的偏好有什麼關係呢？如果一個人比較喜歡商品X勝過Y，X對他的效用應該要比Y還要高，也就是U(X)≧U(Y)；反之亦然，如果今天我們知道U(X)≧U(Y)，那消費者應該是比較喜歡X的。效用函數和偏好彼此一致的狀況下，我們稱這個效用函數U代表了這個消費者的偏好⪰。
如果U代表了消費者的偏好⪰，那麼X⪰Y ⇔ U(X)≧U(Y)
值得注意的是，效用看起來很方便，但事實上確實存在一些沒辦法寫成效用函數的偏好，例如我們上次聊過的字典偏好就是一例*1。
另一個問題是，兩個人的效用能不能比較？例如某個消費者說U(蘋果)=50，伍德的效用函數用V表示，說V(蘋果)=10。可以說因為50>10，所以伍德就比較不喜歡蘋果嗎？並不是如此。很粗略來說，說不定該位消費者的「滿分」是100分，而伍德的滿分就是10分，伍德就是很愛蘋果。不同消費者間的效用函數是不能比較的。
而事實上，效用函數也不是唯一的。舉例來說前面的消費者說U(蘋果)=50、U(橘子)=60、U(香蕉)=40，可能心裡想的滿分是100分；如果我們請他改用0-10分打分數，改用V(.)表示，變成V(蘋果)=5、V(橘子)=6、V(香蕉)=4，消費者還是最喜歡橘子、最不喜歡香蕉，效用的尺度改變了，但是對經濟學家來說，最重要的偏好並沒有改變。U(.)和V(.)都代表了偏好。
這反映出效用是沒有單位的，而我們只關心它的相對大小。只要相對大小對了，不管尺度是0-100、0-10，或甚至100-1000都沒有關係。假設一個消費者的偏好可以用U(.)表示，那麼將其+100(平移)或是*2(伸縮)，對於這個效用的有效性不會有影響*2。而我們也稱效用是「排序性」(Ordinal)的，代表我們其實不太在乎它的真正數值。
和效用有關的概念
接下來我們來看幾個由效用延伸的概念。有了效用函數後，我們就有很多數學工具可以用來幫助分析。
接下來我們假設U(x)代表消費者有x瓶水的滿足程度。
也就是說，有一瓶水，消費者的效用是8；有兩瓶水，消費者的效用是15，以此類推。對於一個數量x，我們定義三個名詞：
- 總效用(Total Utility;TU)：U(x)，也就是消費者的總滿足程度。
- 平均效用(Average Utility；AU)：U(x)/x，消費者在持有x瓶水下，平均每瓶水給他多少滿足程度。例如AU(4)=U(4)/4=5.5。
- 邊際效用(Marginal Utility；MU)：在有x瓶水下，再多給消費者一瓶水，會給消費者多少效用。也就是U(x+1)-U(x)。舉例來說，MU(2)=U(3)-U(2)=20-15=5。
換各位試試看，能不能算出AU(2)，以及MU(3)呢*3？
我們特別來看邊際效用：
- MU(0)=8
- MU(1)=15-8=7
- MU(2)=20-15=5
- MU(3)=22-20=2
- MU(4)=21-22=-1
可以看到邊際效用遞減，這是一般都會做的重要假設。想想MU(0)：在你一瓶水都沒有時，多給你一瓶水真是太重要的，邊際效用會很大。MU(1)：已經有一瓶水，再多一瓶也還不錯。MU(55)：已經有55瓶水，再多一瓶是要淹死人嗎？邊際效用大概不怎麼樣，甚至是負的。
一般的效用
一般的情況下我們假設商品是可以無限分割的，不只是一瓶水，你可以買0.5瓶、0.02瓶、小到一滴水。整個效用函數會是條平滑的曲線。
紅色曲線為效用函數
在這樣的情況下，我們同樣可以定義總效用TU和平均函數AU。例如在(x,U(x))的平均效用同樣是AU(x)=U(x)/x，恰好是上面藍色虛線的斜率。而邊際效用MU需要一點修正：比起問在有x瓶水下，多一瓶水多給消費者的效用，我們問在有x瓶水下，多0.1瓶、甚至是多一滴水給消費者，那一滴水的平均效用會是多少。
換句話說，MU(x)=lim△x→0[U(x+△x)-U(x)]/(x+△x-x)──有點眼熟了嗎？沒錯，這就是取這點的微分值。MU(x)=U'(x)。
大家基本上可以把邊際效用想成效用在x這點的增加速度。對應到上面的圖就是橘色切線的斜率。而「邊際」這個概念將在本專欄持續不斷地出現，請務必要搞懂。
而在上面的圖，我們做了至少兩個數學假設U'(x)>0、U''(x)<0，分別代表下面三個意思：
- 商品是好的(good) (U'(x)>0)：多收到商品，效用會上升(消費者更開心)。這代表商品是個好東西。與之相對，像是垃圾、汙染、犯罪等等「商品」是不好的(bad)。
- 邊際效用遞減 (U''(x)<0)：前面也提過，當沒有商品時，多一個給人的效用很大；但當手上已經擁有很多了，多一個好像就沒那麼稀奇。
- 沒有滿足點 (U'(x)>0)(No saturation)：邊際效用雖然遞減，但不會像我們一開始的例子變成負的。消費者可以感覺麻痺(邊際效用很小)，但不至於厭惡多的商品。現實來說，可以假設消費者可以(無成本地)銷毀過多而不需要的商品。
在往後除非另外提及，我們直接假設效用函數滿足以上的條件。
水與鑽石的矛盾 (Diamond-Water Paradox)
經濟學之父亞當斯密(Adam Smith)在他的代表作《國富論》提到一個問題：水對人類來說太重要了，卻很廉價；相對地，鑽石沒什麼特別用處，卻號稱鑽石恆久遠，一顆就破產(原文並不是這麼說的)。
重要的東西應該要很貴、沒什麼用的東西應該要很便宜，不是嗎？這個問題被經濟學家稱為水與鑽石的矛盾(Diamond-Water Paradox)。時至今日，大部分的經濟學家認為這可以用我們今天提到的效用理論來解釋。而核心觀念，是願付價格由邊際效用決定。換句話說，你願意花多少錢買東西，跟多了那東西給你的邊際效用有關*4。
水對我們真的很重要，沒有水我們活不下去。它給我們的總效用很高，但因為我們的水消費量很大，再多一滴水的邊際效用其實不大。與之相對，我們沒什麼鑽石，多一顆鑽石給我們的邊際效用還有點大，才使得鑽石的價格比較高。極端地來說，如果你在沙漠裡已經兩天沒喝水，想必也願意花比鑽石還高的價格買水，因為那時的水給你的邊際效用很高。
我們會在第四章討論消費者決策時，再好好地解釋價格和邊際效用的關係。
如果商品不只一種
現實生活裡，商品當然不只水一種。我們同樣可以問消費者2顆蘋果+3根香蕉的效用為何、或是3顆蘋果+1根香蕉的效用。在這種情況下，效用函數會有兩個(以上)的參數(parameter)。我們記成U(x1,x2)，例如2顆蘋果+3根香蕉的效用就寫成U(2,3)。而當有兩種以上商品時，我們就能討論商品間的取捨、拿走一顆蘋果需要補消費者多少香蕉才能讓他覺得沒差。而這就和另一個重要觀念：無異曲線(Indifference Curve)有關。我們下次繼續談第二章。
那麼今天就聊到這裡，我是伍德，我們下次的「十分鐘個體經濟學」見！
*1. 證明技術成分比較多，專欄略過不談。不過倒是有個定理值得一書：
Debreu (1954)：如果一個偏好是完備、遞移且連續(Continuous)的，那就存在效用函數的表示法。
*2. 技術來說，我們說如果U(.)代表了一個偏好，那麼給定單調遞增(monotonically increasing)函數f(.)，f(U(.))代表了同一個偏好。
*3. AU(2)=7.5；MU(3)=2
*4. 另外一派，從當初亞當斯密自己的解釋開始，利用的是勞務價值論(Labor Theory of Value)，認為價格和取得商品所需的勞務有關(開採鑽石很辛苦)。這套理論後來由馬克斯繼承，成了共產經濟理論中重要的一環。
