Gilbert Strang 經典線代課程心得

來自MIT的經典線代課程－－Gilbert Strang

第五課：轉置矩陣、置換矩陣、向量空間與子空間 (Transpose、Permutation matrix 、 Vector space and Subspace)

這堂課我們終於要步入線性代數的大門了！

你說前面學到的東西算什麼？

就...基礎中的基礎，大概相當於「阿拉伯數字」之於「現代算數」

先別急著生氣，雖然是基礎，但這恰好代表著其重要性，在沒有弄懂「線性代數」核心理念的前提下，不用太多，兩節課後你就不知道教授到底在說什麼了

你想想沒「如果算數沒了阿拉伯數字有多可怕」，好奇的話可以看看埃及人怎麼紀錄數字的，羅馬人又是如何計算的，那根本不是人能用的東西，話說回來，基礎越紮實才能人走得越踏實，可別懈怠了

這堂課會繼續完成「置換矩陣」在「 LU 分解」中所扮演的角色，首先我們一再強調的是，「置換矩陣」的作用是「交換行列向量 ( Execute Row/Column exchanges ) 」，而「置換矩陣」在「 LU 分解」中的主要目的是將

消元過程中「主對角線」上的「零元」都變成「非零元」，以便於消元與尋找主元

關於「置換矩陣」的使用時機便是「消元主元」便成零的時間點，不過放到實際計算上，除了「消元主元等於零」的情況下我們會使用「置換矩陣」，為了避免不必要的計算資源消耗，我們也會主動避開主元過小的列，否則勢必會產生過大的「消元數」，使得整體數值波動性變大或是增加計算難度

也就是說，「置換矩陣」在「 L U 分解」中扮演的類似「 WD－40 」這種萬用工具般的角色，既能解決束手難題，也能降低計算波動度，可以說是「居家旅行，必備良藥」

順便提醒一下，為了避免讀者忘記，我們學「 L U 分解」的存在也是為了簡化過程喔，~~所以就說了數學家很懶~~

先讓我們回歸到「「置換矩陣」應該要如何作用於「 L U 分解」的這個主題中，具體作用如下

P A ＝ L U

「置換矩陣」的功能是在初始階段將「可逆矩陣 A 」的列向量進行「良序排列」

何謂「良序排列」呢？簡單來說是為了避免出現「主元為零」或是「主元過小」的問題進行的排列原則

但是要如何達成「良序排列」呢？嗯...就結論而言，我們的策略只有「走一步看一步」

這是因為在消元過程中，我們很難去判斷運算對於單一主元的數值影響，「消元主元」本身是極具波動性的數值，所以只能在消元過程中進行動態調整，也因為這樣，教授在課程中只有提到對所有「可逆矩陣」，都會存在一個合適的「置換矩陣」以進行置換

最後進行結論，所謂的「置換矩陣」，就是一個重新排列「列 / 行向量」的「單位矩陣」，大部分的時間裡，「列置換」會是更常被使用到的功能

教授簡單複習「置換矩陣」的性質，細節請看上一個課程，下方僅簡單列出重點

「置換矩陣」乘上「置換矩陣」必然是「置換矩陣」
「置換矩陣」的「逆反矩陣」必然「置換矩陣」
「單位向量」是一種「置換矩陣」
n 階「置換矩陣」有 n！種

除了上述性質，「置換矩陣」還存在一個有趣的特性但我們還不會學到的性質，即

P^－1＝ P^T

此運算性質在線性代數中被稱之為「正交性 ( Orthogonal ) 」，以算式表示應為

P ( P^T) ＝ ( P^T) P ＝ I

此性質並非「置換矩陣」獨有，在眾多矩陣中，我們會將具有「正交性」性質的矩陣歸納為「正交矩陣 ( Orthogonal matrix ) 」，而「置換矩陣」是「正交矩陣」中的一個規則更加完善的子集合

對於解析幾何比較了解的讀者應該會發現，此處提到的「正交性」與過去向量運算時的「相互垂直」似乎隱約存在著某些關係，你說你看不懂？那沒事，跟這點頭裝懂就行了

玩笑話先不說，「正交性」確實與過去在幾何學中學到的「垂直關係」相關，或者說

「正交性」便是一種更抽象更廣泛的「垂直關係」

而「正交性」也是我們將矩陣運算帶到幾何世界的一個橋樑，雖然我們不會在此處細說，各位讀者或許可以就「垂直關係」這一概念發想「正交性」可以如何使用

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下一個主題來談「轉置矩陣 ( Transpose matrix , A^T ) 」，需要先進行說明的是，我們接下來談的內容實際上是針對「轉置 ( Transpose ) 」這一個運算所具備的特性，而非「轉置矩陣」這個詞彙本身，因為「轉置矩陣」指的是進行「轉置」後的矩陣，其本身並不具備任何性質，在「轉置」過程中出現的變化才是我們所在乎的

接下來以實際範例演練，取用「長方陣(Rectangular matrix , R ) 」的「轉置」運算進行說明，先給定一個3×2的矩陣 A (如下)

則 A 的「轉置矩陣」A^T即

從這一範例可以了解到，所謂的「轉置」便是將

「列向量」改列為「行向量」

也可以說是

「行向量」改列為「列向量」

以數學語言表示則為

( A^T )_ij＝( A )_ji

以文字敘述來說，即

「第 i 列第 j 行的元被轉換到第 j 列第 i 行」

以矩陣結構來說，即

「以主對角線作為對稱軸，建構一個線對稱的矩陣」

關於「轉置」運算與其相關性質，有一些教授沒有細說的內容我會在此處進行簡單補充，但就「轉置」本身，有一些運算性質是讀者需要先瞭解的

連續轉置： ( A^T)^T＝ A
線性組合： ( x A ＋ y B )^T＝ x A^T＋ y B^T
乘法次序： ( A B )^T＝ B^TA^T
逆反轉置： ( A^－1)^T＝ ( A^T)^－1

請注意，上述名詞沒一個是專有名詞，只要方便，愛怎麼記都可以

這些上方的四個規則中，就只有「線性組合」的內容是新的，其他內容在前面的課程中或多或少都有用到，或許也能從教授上課的內容看出，「轉置」的運算性質會被作為「常識」使用，因此對於「轉置」不熟的讀者，請務必記住以上性質

「連續轉置」

這一指令看似只是「換過去又換回來」的廢話，但是這樣的結構完善了「轉置」這一運算系統的「逆運算」

「逆運算」在運算符號中是一種相當重要的基礎性質，如同學習「加」就會學習「減」，學習「乘」就會學習「除」，存在「逆運算」意味著「運算有著重來的可能」，而且有意思的部分是

我們沒有也不需要建構一個新的運算符號，因為「轉置」本身便是自己的逆運算符

不過此處需要補充一下，以上論述不完全正確，嚴謹一點來說，跟「轉置」具有相同結構的運算被稱為「對合 ( Involution ) 」，而這個過程中，執行第偶數次的「轉置」便相當於自身的逆運算，但這並不會妨礙讀者現階段以「逆運算」這一概念進行理解

「線性組合轉置」

這一性質實際上是「轉置」這一運算符合「線性映射」的特質，這意味著計算時能將「轉置」與「加乘法」進行「順序轉換」，這一性質能提供很好的運算彈性

以微積分中運算為例，其中的「微分運算子」便具有「線性映射」的特質，即

若可微函數可以分解為個別可微函數的線性組合，那麼我們進行運算時就能個別微分

這個性質用過都說讚，在強調順序的數學運算中，「可分段運算」這點便已彌足珍貴

「乘法次序轉置」

「乘法次序轉置」可以說是所有「轉置性質」中的最重要性質

我們都知道矩陣乘法運算是不存在「交換律」的，失去習以為常的運算性質往往會令我們不知所措，而「乘法次序轉置」這一性質便提供了難得的「交換機會」，即

以一己之力扛下了整個矩陣乘法運算中的「逆轉」這一概念

如同「線性組合轉置」的功能一樣，「乘法次序轉置」的交換能力在更複雜的矩陣公式推演與計算時，往往能夠扮演著打破僵局的角色

可以說當線性代數失去這個性質後，九成的結論都將作廢

在提供運算彈性的基礎上，「乘法次序轉置」也提供了「將矩陣視為向量進行分析或是討論」的可能性，其中「引入幾何，建構空間」這一能力便是「乘法次序轉置」能夠被稱為「轉置」最重要性質的原因之一

至於「建構空間」暫時距離此處內容有些遙遠，需要提到的概念與名詞太多，所以不會多作討論，大概在進行到課程三分之一時便會學習到，敬請期待

「逆反轉置」

交換不同的運算子，這是一個多麼美妙的概念，想想將除法改寫為倒數乘法後的靈活性，或許就能明白這個性質在運算中的角色了

這一個性質賦予「轉置」與「逆反」這兩種運算子存在操作意義上的等價性，說人話就是「愛怎麼算就怎麼算」，提供非常好的計算彈性，通過將這些性質結合，去進行最有效率的化簡，下面這個矩陣的簡化便是一個最好的例子

( ( AB )^－1)^T＝ ( (B^－1)( A^－1))^T＝ ( A^－1)^T(B^－1)^T＝ (A^T)^－1(B^T)^－1

各位讀者應該知曉「轉置」與「逆反」這兩種運算子，真的要討論運算消耗資源，「轉置」必然遠低於「逆反」，特別是高階矩陣的「逆反」計算資源回隨著階數提高而指數上升，若是能通過「轉置」提前「逆反」運算，以較低階「逆反矩陣」進行計算，勢必可以節省大量資源，除此之外，此性質也有助於維持特定矩陣的代數結構性，不過這些內容我們短時間也不會學到，所以就暫且不做過多的描述了

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既然都花了那麼多篇幅說明「轉置」，那必須好好認識由「轉置」定義的特殊矩陣－－「對稱矩陣 ( Symmetric matrix , S ) 」，就你懂得，情勢所迫 (？)

從結構上來說，「對稱矩陣」的矩陣元會以「主對角線」作為對稱軸按序排列，形成具有 ( 線 ) 對稱結構的矩陣 ( 如下圖 )

三階對稱矩陣

而回歸到數學的定義上，「對稱矩陣」S 是指滿足以下規則的矩陣

S^T＝ S

由此規則來看，「對稱矩陣」必為方陣，因為如果不是方陣的話，「轉置」後的矩陣大小便會與「轉置」前的矩陣大小不同

我們好奇的是，除了恰好是「對稱矩陣」的矩陣外

「對稱矩陣」是否能以固定形式生成？

其實任意一個矩陣都能生成「對稱矩陣」，是長方陣或是方陣都無訪，內部的元也不影響

只需要將「指定矩陣 A 」與「轉置矩陣 A^Ｔ」相乘就可以得出「對稱矩陣 S 」

但是要注意的是，矩陣乘積的順序不同，便會生成不同矩陣喔

這個敘述要怎麼證明呢？從結構上進行推導呢？又或者從運算性質推論？還是有其他作法呢？各位讀者可以動手試試看，以下會以兩個方向提供說明

第一種從結構上來說，「 A 」的第 k 列向量與「 B ＝ A^Ｔ」的第 k 行向量相同，這意味著當我們執行矩陣乘法時

( A B )_ij ＝ ( Row_A i )．( Column_B j )^T

( A B )_ji ＝ ( Row_A j )．( Column_B i )^T

而

( Column_B i )^T＝ ( Row_A i )

( Column_B j )^T ＝ ( Row_A j )

故

( A B )_ij ＝ ( Row_A i )．( Column_B j )^T ＝ ( Column_B i )^T．( Row_A j ) ＝ ( A B )_ji

由上式可知「 A B 」的元必然會以主對角線對稱排列，故證明完畢

第二種從運算性質上來說，便是引用了「轉置」的運算性質進行推論，主要用到的是「連續轉置」與「乘法次序轉置」，也就是

( M^T )^T ＝ M
( M N )^T＝N^TM^T

對任意一個矩陣 A 與其「轉置矩陣」A^T，必然可表視為

( A^TA )^T＝ A^T( A^T )^Ｔ＝ A^TA

從定義、推論、得出結果，沒有任何多餘的廢話，卻證明所有矩陣皆可以此形式生成「對稱矩陣」，這是一串多麼優美簡練的證論阿

此推論除了可以證明「對稱矩陣」，也能確認矩陣乘積是否為「對稱矩陣」的檢測方式

當我們進行矩陣推演時，不總能知道矩陣內容物，但是通過運算性質進行推論就能未知內容物的問題，這個檢測法十分泛用，讀者或許可以先記上

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接下來要進入相對抽象的「線性代數核心理念」之一的

「向量空間與子空間 ( Vector space and Sub－space ) 」

說這個概念抽象是因為「空間 (Space) 」實際上是一個符合特定規則的集合，換句話說，下一步要學習的實際上是「矩陣的運算結構性」

當然，所謂的「空間」不是指現實意義上的，如同「空房間」一般的概念，而是代數學上的一個專有名詞

對於一個非數學專業的讀者，或許不用太深入的了解其規則，簡單來說

「空間」是一個帶有特殊運算規則的集合，假定存在集合 S
無論我們對 S 內部的元素如何進行縮放 ( × ) 或是疊加 ( ＋ )，
經運算產出的元素依然屬於 S ，此時集合 S 可以被稱為空間

以數學語言說明，設集合為 S，元素為 s₁、s₂、s₃、．．．、s_k，對任意實數 R _i皆滿足

R₁s₁＋ R₂s₂＋ R₃s₃＋．．．＋ R_ks_k∈ S

此時的 S 在數學上就會被稱為「空間」，而在線性代數中，討論的「空間」則會更進一步精細到「向量空間」，畢竟「矩陣」本身便可視為一種由「向量」構成的集合

由於具體到「向量空間」需要滿足哪些性質，說實話對大部分的讀者而言都不是那麼重要，無論是數學專業或是只是有興趣的讀者都一樣，此處為了完整性依然會說明「向量空間」具體需要滿足哪些規則，但建議看過就行了

「向量空間」的十大公理 ( 假設 u , v , w ∈ V；a , b ∈ F )

加法封閉性：u ＋ v ∈ V
加法交換律：u ＋ v ＝ v ＋ u
加法結合律：( u ＋ v ) ＋ w ＝ u ＋ ( v ＋ w )
加法反元素：∃ ( －u ) ∈ V → u ＋ ( －u ) ＝ 0
加法單位元素：∃ 0 ∈ V → u ＋ 0 ＝ u
純量乘法封閉性：a × v ∈ V
純量乘法結合律：( a × b ) × v ) ＝ a × ( b × v )
純量乘法分配律 ( I )：a × ( u ＋ v ) ＝ a × u ＋ a × v
純量乘法分配律 ( II )：( a ＋ b ) × u ＝ a × u ＋ b × u
純量乘法法單位元素： 1 × u ＝ u

以嚴謹的討論來說，應該是需要一個個去驗證「向量空間」內部的元素是否具有以上性質，但是我個人認為這些內容有些過於「形式」，最重要的是，這部份對於學習空間沒甚麼實質上的幫助，如果希望更進一步了解這類結構知識，可以考慮看看「代數學」

白話說，若要確認「向量集合」結構符合「向量空間」，主要需要遵守的性質為

零向量必須包含在集合中
集合內任意向量的線性組合 ( 縮放與疊加 ) 必須具有封閉性

這並不精準，但若僅需初步判斷，這兩個便已足夠

在無窮多種「向量空間」中，結構最單純也最常被作為範例的「向量空間」是

「二維實向量空間 ( The two － dimensional real vector space , R²) 」

我們更習慣以「 x y 平面」、「二維平面」稱呼「 R² 」，正如其名，「 R² 」內部所涵蓋的元素是所有的「二維實向量 ( The two－dimensional real vector) 」

當然，在數學上提到「 R² 」，下一個要提到的大概就是「 R³ 」，也就是

「三維實向量空間 ( The three － dimensional real vector space , R³) 」

畢竟「 R² 」、「 R³ 」可以說得上是我們最熟悉的兩種「向量空間」了，當然，必不可少的還有進行「一般性推論」時，經常使用到的，由 n 個分量構成的向量「 V_n 」構成的

「 n 維實向量空間 ( The n － dimensional real vector space , Rⁿ) 」

在線性代數這一學科提到的「向量」大多會以「行向量」的形式出現在討論中，且沒特別強調的話，「向量」中的「分量 ( Componrnt ) 」必為實數

說完了定義與規則，接著教授便拋出了疑問

「哪些集合不是向量空間呢？」

並給出以下兩種「 F₁」、「 F₂ 」的敘述，看看這兩個集合是否符合「向量空間」的條件

F₁＝ R²\ { ( 0 , 0 ) }
F₂ ＝ { ( a , b ) | a , b ∈ R^＋ }，即質點位於第一象限的「位置向量」構成的集合

答案是「兩者皆否」，我想這是有些顯而易見了

但「原因」是我們更感興趣的部分，或許讀者能打下自己最初的看法一起討論，而我則將根據教授的論述，提出兩個參考答案

取集合內部的向量 ( 1 , 1 ) 與 ( －1 , －1 ) 相加，得出的 ( 0 , 0 ) 不存在於「 F₁」中，故「 F₁」不滿足條件「 集合內任意向量的線性組合 ( 縮放與疊加 ) 必須具有封閉性 」，故「 F₁」不是一個「向量空間」
由於的零向量 ( 0 , 0 ) 不存在於「 F₂」中，故「 F₂」不滿足條件「 零向量必須包含在集合中 」，故「 F₂」不是一個「向量空間」

當然，「 F₁」、「 F₂ 」不只能通過上述的兩種方式說明原命題為何有誤，甚至有些論述有些繞遠路的感覺 ( 沒錯我在說的就是「 F₁」 )，但是請別忘記，「 F₁」、「 F₂ 」被建構的目的便是希望各位讀者通過兩種集合，清楚地了解集合要被稱作「向量空間」需要什麼樣的條件

從反例延伸，數學家希望了解的問題是

「空間中是否存在其他「向量空間」？如果有，應該會有多少個？」
「是否能用更少的元素建構「向量空間」？如果能，至少需要滿足哪些條件？各維「向量空間」構成最小結構是否具有共通性？」

回歸到「向量空間」的本質是一個「 帶有特殊運算規則的集合 」來思考，上述的問題實際上就是要討論「子集合 ( Subset ) 」這一概念，而將「 帶有特殊運算規則的集合 」引入「子集合」的概念時，我們會將這個特殊集合稱為

「子空間 ( Subsapce ) 」

更嚴謹一點會將其稱呼為

「 n 維向量子空間 ( The n － dimensional vector subspace) 」

不過短時間內我們不會對抽象的高維向量進行討論，請各位讀者不用擔心，一如既往地，教授的課程總是以最簡單的結構進行舉例，因此首先討論的便是「 R² 」的

「二維向量子空間 ( The two － dimensional real vector subspace) 」

既然被稱為「子空間 ( Subsapce ) 」，那麼「向量空間」要滿足的條件一個都不會變，依然是「 零向量必須包含在集合中 」與「 集合內任意向量的線性組合 ( 縮放與疊加 ) 必須具有封閉性 」兩大條件

但是可能性太多了，所以比起尋找條件符合的集合，不如直接建構就行了，反正條件就只有兩個，況且需要滿足兩個條件的生成方式意外簡單

只要伸縮某個「位置向量 ( Position ) 」就好了！所有伸縮可能會形成一個「子空間」

對的，讀者並沒有看錯

只要這樣就能建構出一個「子空間」了

讓我們檢查一下

首先，「位置向量」v 的定義是「由原點指向質點的向量」，因此「伸縮「 v 」形成的集合」V 的內部元素，必然有一種可能是「原點＝質點」，而「原點＝質點」便是零向量的定義，故「 零向量必須包含在集合中 」的條件便完成了

其次，「 V 」的構成條件，意味著「 係數積 ( 純量向量乘法 ) 封閉性 」必然成立

最後，由「 V 」的定義可知，「 V 」的集合表示式為

V ＝ { v_i ＝ a_i v | a_i ∈ R；i ∈ N }

由此假設

v_i , v_j ∈ V & v_i ≠ v_j

根據向量的加法規則可知

v_i＋ v_j＝ a_i v ＋ a_jv ＝ ( a_i＋ a_j) v

根據實數的加法封閉性可知

∃ a_k∈ R→ a_k＝ a_i＋ a_j

因為

a_k∈ R

因此

( a_i＋ a_j) v ＝ a_k v ∈ V

由上述論述可知，「 V 」具有「 向量加法 ( 疊加 ) 封閉性 」

雖然就嚴謹論述上，獨立說明「 V 」具有「 向量加法 ( 疊加 ) 封閉性 」與「 係數積 ( 純量向量乘法 ) 封閉性 」並沒辦法說明「 集合內任意向量的線性組合 ( 縮放與疊加 ) 必須具有封閉性 」這一個條件，但是從說明的角度，分開討論我認為可以更好的解析這一條件，所以在意的就先睜一隻眼閉一隻眼吧

回到論述，由論述中提出的三個方向

「 零向量必須包含在集合中 」
「 向量加法 ( 疊加 ) 封閉性 」
「 係數積 ( 純量向量乘法 ) 封閉性 」

可以說明「 V 」滿足

「 零向量必須包含在集合中 」
「 集合內任意向量的線性組合 ( 縮放與疊加 ) 必須具有封閉性 」

兩大條件，且「 V 」為「 R² 」的子集合，故可得

「 V 」是「 R² 」的子空間

真是一場酣暢淋漓的推論是吧？你說很一般？那也未免罵得難聽了

先不管讀者的心得，以上論述確實紮實地給出了一種可以有效生成「 R²子空間」的規則，並且我們能以此規則進一步說明出「 R²子空間」的所有可能

使用兩種不同方向的「位置向量」線性組合，便能生成「 R² 」的「二維子空間」
使用單一方向的「位置向量」線性組合，便能生成「 R²」的「一維子空間」
使用無法定義方向的「零向量」線性組合，便能生成「 R²」的「零維子空間」

至於名稱內部「維度概念」就如同讀者從小到大學習的圖形名稱一樣

「零維」表示圖形是一個「點」
「一維」表示圖形是一個「線」
「二維」表示圖形是一個「面」

在線性代數中，數學家對「維度」進行抽象化的延伸，因此「維度」不會被限制於現實，在線性代數中，我們有可能討論「四維」、「五維」、「十維」甚至「 n 維」，不過我們還不會那麼快接觸這一個概念，再等等吧～

現階段可以確定的是「 R²」會有三種不同類型的「子空間」，那麼「 R³」會有幾種不同類型的「子空間」呢？

使用三種不同方向的「位置向量」線性組合，便能生成「 R³」的「三維子空間」
使用兩種不同方向的「位置向量」線性組合，便能生成「 R³」的「二維子空間」
使用單一方向的「位置向量」線性組合，便能生成「 R³」的「一維子空間」
使用無法定義方向的「零向量」線性組合，便能生成「 R³」的「零維子空間」

此時的「子空間」圖形呈現為

「零維子空間」表示圖形是一個通過原點的「點」
「一維子空間」表示圖形是一個通過原點的「線」
「二維子空間」表示圖形是一個通過原點的「面」
「三維子空間」表示圖形是一個通過原點的「體」

真是豐盛的內容，但還沒結束！

畢竟我補充了不少內容，但也差不多進入收場的部分了，加油

在課程的末端，我們要開始將「向量空間」與「矩陣」進行結合，看看「矩陣」是如何與「向量空間」連接的，最常見的方式便是通過矩陣的「行向量」構成的「向量空間」

一如既往，將矩陣命名為「 A 」，而「 A 」被定義為

由矩陣表示式可知，「 A 」的「行向量」屬於「 R³ 」，而我們希望以「 A 」的「行向量」構築「 R³ 」的「子空間」V，在數學上會這樣定義 V

V ＝ { a ( Column_A 1 ) ＋ b ( Column_A 2) | a,b ∈ R }

換句話說，便是由「行向量」的「線性組合」構成一個集合

All their ( Column_A 1 & 2 's ) combinations form a subspace of R³

以此法生成的「向量空間」便被稱為「列空間 ( Column space , C ( A ) ) 」

整個課程的核心思想在於

「一個通過某些向量構成的空間，倘若這些向量屬於 Rⁿ，則空間本身也在 Rⁿ內」

原文為

Not satisfied with a few vectors , we want to space of vector

These vectors are in R³ ,so our space of vectors will be in R³

最為關鍵的點在於「對向量進行線性組合後依然在子空間中」，若以此點延伸，則可在「 R³ 」中建構出一個「二維子空間」，以圖形特徵來看，便是一個通過原點的平面

上述說明是在告訴讀者

「子空間圖形維度」，取決於是取用的「向量數量* 」
「子空間所屬維度」，取決於取用的「向量分量」

小小補充一下，「向量數量* 」是指滿足「線性獨立」的向量數量，而這是有點後面的上課內容了，前面印象中有簡單說明過，有興趣的不建議翻，就直接估狗ㄅ ( 當然要複習或是幫我增加一些閱覽數也行，在此先行謝過 )

感謝你的閱讀，期待這下一篇的再見，88