導讀：工程師真正關心的不是瞬間，而是總量
瞬間電流多大？
瞬間功率多高？
這些數字本身，其實都只是片刻的狀態。
工程師真正會問的是：
👉 這段時間總共累積了多少電荷？
👉 這段時間總共消耗了多少能量？
積分回答的正是這個問題。
👉 歷史到現在，留下了多少影響。
一、積分的工程語言
數學表示：
∫ f(t) dt
工程語言翻譯：
👉 把每一瞬間的貢獻加起來
👉 形成一個總量
也就是：
👉 累積
積分不是在算圖形，
而是在做一件事：
👉 把時間軸上的所有影響「記帳」。
二、微分與積分是一對鏡像
微分：
👉 從累積 → 看變化率
積分：
👉 從變化率 → 回到累積
工程直覺：
👉 微分在看「現在變多快」
👉 積分在看「到現在為止發生多少」
兩者互為反操作。
三、電流積分得到電荷
q(t) = ∫ i(t) dt
工程意義：
👉 電流是流動速度
👉 電荷是累積結果
就像：
👉 水流速度 → 積分 → 水庫裡的水量
四、功率積分得到能量
E(t) = ∫ p(t) dt
工程意義：
👉 功率只是瞬間消耗率
👉 能量才是帳單上的總金額
五、速度積分得到位移
x(t) = ∫ v(t) dt
工程意義：
👉 你走多快不重要
👉 走了多久 × 多快 → 決定你走多遠
六、為什麼工程師愛用積分？
因為很多關鍵指標本質都是「總量」：
• 總能耗
• 總資料量
• 總誤差
• 總流量
• 總負載
工程不是只看某一秒，
而是看一段時間的累積後果。
七、工程版一句話總結
👉 微分看未來趨勢
👉 積分看過去結果
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 小但久 → 會變很大
✔ 大但短 → 可能很小
✔ 積分 = 記帳
🧮 單元練習題 1（電流累積）
已知某電路電流為：
i(t) = 2t（安培），0 ≤ t ≤ 5 秒
求：5 秒內累積電荷 q。
解題思路（工程版）
q = ∫₀⁵ 2t dt
= [ t² ]₀⁵
= 25（庫倫）
工程直覺
👉 電流隨時間線性變大
👉 雖然一開始很小
👉 但時間拉長後，累積會變可觀
🧮 單元練習題 2（功率與能量）
某設備功率固定為：
p(t) = 100 W
持續運作 10 秒
求：消耗能量 E。
解題思路
E = ∫₀¹⁰ 100 dt
= 100 × 10 = 1000 J
工程直覺
👉 功率只是瞬間燒多少
👉 真正付錢的是：燒多久
✅ 本單元核心帶走一句話
工程師用積分，不是為了畫漂亮面積，
而是為了知道：
這段時間到底留下了多少後果。
