導讀：多數工程災難，不是因為不會微分，
而是因為：
👉 用錯地方
👉 用錯時機
👉 相信了錯誤的模型
微分只是工具，
假設錯了，結果一定錯。
一、把線性模型當成全域模型
工程常用線性近似：
f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a)
成立前提：
👉 只在 x 接近 a 的小範圍內成立
📌 數學案例 1
f(x) = x²
在 a = 1 附近線性化：
f(1) = 1
f′(1) = 2
線性模型：
f(x) ≈ 1 + 2(x − 1)
若 x = 1.1：
真值 = 1.21
近似 = 1.2（可接受）
若 x = 3：
真值 = 9
近似 = 5（嚴重誤差）
👉 小範圍 OK，大範圍爆炸。
二、在高雜訊訊號上直接微分
頻域關係：
dx(t)/dt ↔ j·2πf·X(f)
代表：
👉 高頻成分被放大
📌 數學案例 2
x(t) = sin(t) + 0.01 sin(100t)
微分後：
dx/dt
= cos(t) + 0.01·100 cos(100t) = cos(t) + cos(100t)
原本雜訊振幅：0.01
微分後雜訊振幅：1
👉 雜訊被放大 100 倍。
三、忽略工作點漂移
線性模型只對建立時的工作點有效。
工作點改變時，模型必須重新建立。
四、數值微分取樣不當
Δt 太大 → 斜率失真
Δt 太小 → 雜訊放大
必須折衷選擇。
五、把導數為零當成一定是最佳點
dy/dx = 0 只代表斜率為零，
不一定是最小值。
六、忽略飽和與限幅
理論線性模型若未包含飽和，
實機行為將與模型嚴重不符。
七、工程版一句話總結
微分不是問題，
錯誤的假設才是問題。
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 問適用範圍
✔ 問雜訊
✔ 問工作點
✔ 問是否存在飽和
🔚 核心收斂句：
會微分只是基本功， 會質疑模型才是真工程。
