導讀：工程的世界裡，帳一定要平
在任何工程系統中：
👉 能量可以轉換形式
👉 但不會憑空出現
👉 也不會無故消失
這就是：
👉 守恆定律
而工程師用來檢查守恆的核心工具，就是：
👉 積分
一、功率與能量的基本關係
功率是能量的變化率：
P(t) = dE(t)/dt
因此：
E(t) = ∫ P(t) dt
工程意義：
👉 能量 = 功率的時間累積
二、能量流入與流出
對任一系統：
Energy_in − Energy_out = Energy_stored
用積分表示：
∫ P_in(t) dt − ∫ P_out(t) dt = E_stored
工程意義：
👉 流進多少
👉 流出多少
👉 剩下多少
三者一定平衡。
三、電容中的能量
E_C = (1/2) · C · v(t)²
工程意義：
👉 電壓越高
👉 儲存能量越多
四、電感中的能量
E_L = (1/2) · L · i(t)²
工程意義：
👉 電流越大
👉 儲存能量越多
五、為什麼守恆如此重要？
因為它能幫你：
👉 驗證模型是否合理
👉 找出遺漏的損耗
👉 抓出公式或單位錯誤
六、工程師的實務作法
• 列出所有能量來源
• 列出所有能量去向
• 用積分檢查是否平衡
七、工程版一句話總結
👉 積分在工程中，就是能量的記帳本。
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 功率積分 = 能量
✔ 能量只會轉換
✔ 帳一定要平
🧮 單元案例題（守恆檢查）
某系統輸入功率為：
P_in(t) = 100 W
輸出功率為：
P_out(t) = 60 W
系統運作 10 s。
求：此期間內系統內部累積能量 E_stored。
解題
Energy_in = ∫₀¹⁰ 100 dt
= 100 × 10 = 1000 J
Energy_out = ∫₀¹⁰ 60 dt
= 60 × 10 = 600 J
因此：
E_stored = 1000 − 600
= 400 J
工程直覺
👉 流進 1000 J
👉 流出 600 J
👉 剩下 400 J
若算出負值或不合理數字：
👉 一定哪裡漏算了
✅ 本單元核心帶走一句話
在工程世界裡，
只要用積分對帳，謊言就會現形。
