導讀：積分不只是求面積
在課本裡，積分常被介紹成：
👉 曲線下面積的計算
但在工程世界裡，積分真正代表的是：
👉 一段時間或一段區間內，總共累積了多少影響
它關心的不是某一瞬間有多高，
而是：
👉 過去一路走到現在，累積了多少結果。
在工程實務中，積分經常用來衡量：
• 面積
• 能量 • 訊號總量 • 負載總量
這些「總量」，才是設計、評估與優化系統的依據。
一、面積：函數在區間內的累積量
若要計算函數 f(x) 在 a 到 b 之間的累積量：
Area = ∫_a^b f(x) dx
工程語言翻譯：
👉 把每一個位置的高度 f(x)
👉 乘上極小寬度 dx 👉 全部加起來
得到的不是單一高度，而是：
👉 整段區間的「總和效果」
工程上，面積常用來代表：
✔ 訊號總量
✔ 累積誤差 ✔ 平均值計算的基礎
二、能量：功率隨時間的累積
功率描述的是：
👉 當下每秒消耗多少能量
真正付出的成本是：
👉 一段時間內累積多少能量
數學表示：
E(t) = ∫ P(t) dt
工程語言：
👉 把每一瞬間的功率乘上 dt
👉 全部加起來 👉 得到總能量
常見情境：
• 電路耗電量
• 馬達做功 • 電池放電容量
三、功率：能量累積的快慢
功率本身不是積分，而是：
👉 能量對時間的變化率
P(t) = dE(t)/dt
工程直覺：
👉 功率大 → 能量累積快
👉 功率小 → 能量累積慢
兩者形成一對鏡像：
E(t) = ∫ P(t) dt
P(t) = dE(t)/dt
四、三種量的角色分工
👉 面積：空間或區間上的累積
👉 能量：時間上的累積 👉 功率：累積的速度
共同描述：
瞬間狀態 ↔ 變化速率 ↔ 歷史累積
五、工程版一句話總結
積分不是在畫圖，
而是在告訴你：
👉 系統一路走到現在，總共留下了多少影響。
六、本單元你應該建立的直覺
✔ ∫ = 累加機制
✔ 面積 = 區間總量 ✔ 能量 = 功率的歷史帳單 ✔ 功率 = 能量增加的速度
🧮 單元練習題 1（面積與累積量）
已知函數：
f(x) = 3x，0 ≤ x ≤ 4
求：此區間內的累積量（面積）。
解題
Area = ∫₀⁴ 3x dx
= [ (3/2)x² ]₀⁴ = (3/2) × 16 = 24
工程直覺
👉 高度隨 x 變大
👉 小的地方貢獻小 👉 大的地方貢獻大 👉 全部加起來得到總影響
🧮 單元練習題 2（功率轉能量）
某裝置功率為：
P(t) = 50 + 10t（瓦），0 ≤ t ≤ 5 秒
求：5 秒內累積能量。
解題
E = ∫₀⁵ (50 + 10t) dt
= [ 50t + 5t² ]₀⁵ = 250 + 125 = 375 J
工程直覺
👉 功率隨時間增加
👉 後段時間貢獻更大 👉 能量是整段功率的總和
✅ 本單元核心帶走一句話
積分不是數學技巧，
而是工程師用來計算「歷史後果」的工具。
