🧭 導讀：不只看多快，還要看往哪裡變
在前一單元中，我們學到：
▪️ 偏微分 → 單一方向的變化率
但工程系統同時存在多個方向。工程師真正關心的是：
▶︎ 往哪個方向走，變化最快？
▶︎ 往哪個方向走，最省力？
這正是梯度要回答的問題。
🧩 一、梯度的數學定義
若：
f = f(x, y, z)
梯度定義為：
∇f = [ ∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂z ]
🔬 二、物理意義
梯度向量：
▪️ 指向函數增加最快的方向
▪️ 向量大小代表增加的快慢
⚙️ 三、工程直覺
▪️ 梯度方向 → 最陡上坡
▪️ −∇f → 最快下降方向
🧠 四、最佳化中的角色
最佳化演算法流程：
xₖ₊₁ = xₖ − α∇f(xₖ)
其中：
α = 學習率（步長）
當：
∇f ≈ 0
代表：
▪️ 到達極值點
🛰️ 五、工程實例
熱傳：
▪️ 熱流方向 = −∇T
通訊：
▪️ 搜尋最大 SNR 的方向
機器學習：
▪️ 參數更新方向
🧾 六、工程版一句話總結
梯度告訴你該往哪裡走。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔︎ 梯度是方向
✔︎ 大小代表速度
✔︎ 是最佳化基礎
✏️ 八、數學練習題：梯度與最快上升方向
考慮函數：
f(x, y) = x² + 2y²
（1）求梯度 ∇f
（2）在點 (x, y) = (1, 1) 計算 ∇f
（3）指出此點函數增加最快的方向
✅ 參考解答
（1）
∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 4y
∇f = [ 2x , 4y ]
（2）代入 (1,1)：
∇f = [ 2 , 4 ]
（3）
最快上升方向 = 梯度方向
👉 [ 2 , 4 ]
（若取單位向量：
[ 2/√20 , 4/√20 ]）
🎯 本題想建立的工程直覺
✔ 位置不同
✔ 梯度不同
✔ 最快變化方向也不同
