🧭 導讀：一次只看一個旋鈕
在多變數系統中：
▪️ 很多參數同時在變
▪️ 但工程分析時，必須拆開來看偏微分的精神：
▶︎ 固定其他變數
▶︎ 只觀察某一變數的影響
🧩 一、偏微分的數學表示
若：
y = f(x₁, x₂, x₃)
對 x₁ 取偏微分：
∂y/∂x₁
代表：
▪️ x₁ 微小改變
▪️ 對輸出的變化率
🔬 二、物理意義：局部斜率
偏微分是：
▪️ 在某一操作點
▪️ 沿某一方向的斜率
不同方向：
▶︎ 斜率不同
⚙️ 三、工程敏感度分析
偏微分的大小代表：
▪️ 大 → 高敏感
▪️ 小 → 低敏感
工程用途：
▶︎ 找關鍵設計參數
▶︎ 決定控制優先順序
🧠 四、多變數線性化（小訊號模型）
Δy ≈ (∂y/∂x₁)·Δx₁
+ (∂y/∂x₂)·Δx₂
+ …
意義：
▪️ 建立局部線性模型
▪️ 方便控制與模擬
🛰️ 五、跨領域工程實例
電子：
▪️ 溫度對電阻影響
通訊：
▪️ 頻偏對 SNR 影響
機械：
▪️ 負載對轉速影響
🧾 六、工程版一句話總結
偏微分，是單一參數的影響力指標。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔︎ 偏微分是局部量
✔︎ 大小代表敏感度
✔︎ 是建模第一步
✏️ 八、數學練習題：偏微分與工程敏感度
考慮系統輸出：
y = x² + 4xz + z²
其中 x、z 為可調參數。
（1）求 ∂y/∂x
（2）求 ∂y/∂z
（3）在操作點：x = 1，z = 2
比較兩者大小，判斷哪個參數對 y 較敏感。
✅ 參考解答
（1）
∂y/∂x = 2x + 4z
（2）
∂y/∂z = 4x + 2z
（3）代入 x = 1，z = 2
∂y/∂x = 2(1) + 4(2) = 10
∂y/∂z = 4(1) + 2(2) = 8
因此：
👉 在此操作點下，x 比 z 更敏感。
🎯 本題想建立的工程直覺
✔ 同一模型
✔ 不同操作點
✔ 主導變數可能改變
