導讀：模型不是錯，錯的是「過度相信」
工程世界裡： 模型 = 近似（Approximation） 不是現實本身。
真正專業的工程師，不是會背公式，而是知道：
👉 什麼時候能用（在誤差可接受範圍內） 👉 什麼時候該停（超出操作區、風險升高）一、線性模型本質
線性模型多半來自：泰勒展開的一階近似
f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a)
補一句工程解讀：
- 你其實是在說：「我只看操作點 a 附近那一小段斜率」
- 被你捨棄的高階項（例如 (x−a)²、(x−a)³）就是誤差來源
二、什麼情況下線性合理？
• 變動幅度小：|x − a| 小，二次項、三次項自然小 • 操作點附近：同一套線性模型通常只對「附近」負責 • 元件未進入飽和：放大器沒頂到電源、磁芯沒飽和、感測器沒到量測上限
（補一句現場判斷）
你要的不是「完全準」，而是「誤差比你能容忍的還小」。
三、什麼情況下會失效？
• 大訊號：|x − a| 變大，高階項快速膨脹 • 飽和區：系統斜率突然變小或變 0（增益崩掉） • 斷裂、碰撞：物理上是非平滑事件，線性假設直接破功 • 開關動作：本質是分段與跳變，會產生高頻與非線性效應
四、工程直覺
線性模型 = 局部地圖（只保證這一區） 非線性系統 = 真實地形（你走遠了就一定跟地圖不一樣）
再補一個很實用的句子：
👉 線性化不是「把系統變簡單」，而是「用可控誤差換可計算性」。
五、常見失效警訊（你遇到這些要立刻懷疑模型）
✔ 模擬與實測差很大（而且調參也救不回來）
✔ 輸出突然失真（削波、飽和、非預期諧波）
✔ 不合理震盪（尤其是控制回授下）
✔ 控制器無法收斂（看起來像數學問題，其實是模型已不對）
補一句提醒：
「越調越糟」常常不是你不會調，是你在錯的模型上調到死。
六、錯誤示範（加一句原因，更有教育效果）
用小訊號模型算大功率馬達 → 電流大、磁通大，很可能進入磁飽和，參數等效值不再固定
用線性濾波處理硬切換電路
→ 開關瞬間是非連續事件，線性濾波常只會把問題「看起來變平滑」，但能量與尖峰風險仍在
七、工程師的正確姿勢
👉 先確認操作區間（幅度、頻率、溫度、負載、供電） 👉 再套模型 👉 再驗證（量測/仿真交叉確認）
補一個很工程的流程：
先用線性模型「快速估方向」→ 再用更高階模型「確認安全性」
八、升級方法
• 分段線性化：不同區間用不同斜率（常見於感測器、功放、馬達） • 非線性模型：把飽和、死區、摩擦、限制條件寫進去 • 數值模擬：當解析解太難，就用算的，但仍要校準參數
九、一句話記住
線性模型只在它的地盤內有效 （地盤 = 操作點附近 + 小變動 + 未飽和）
🧮 實務演練題：判斷模型是否可用
某感測器輸出： y = x + 0.5x²
若在 x = 0 附近操作，是否可用線性模型？
解析：
在 x = 0 做泰勒展開： f(x) = x + 0.5x² f′(x) = 1 + x 在 x = 0：f′(0) = 1 線性近似：y ≈ x
補一句「怎麼判斷小不小」：
誤差項是 0.5x²，你可以用「誤差占比」抓界線：
- 若 0.5x² 相對於 x 很小（例如 < 5% 或 < 1%，看你的規格）
- 就可視為小訊號線性化可用
當 x 變大時：
0.5x² 成長速度比 x 快 → 線性模型會越來越失真 因此： ✔ 小訊號範圍可線性化 ❌ 大訊號不可
🎯 工程意義
✔ 小範圍內線性好用：快速估算、快速設計 ✔ 超出範圍需升級模型：避免「看起來合理但實際翻車」
🔑 收斂
懂模型邊界，比會用模型更重要
