📌 導讀：濾波不是創造訊號，而是重塑能量分佈
在訊號與系統中，濾波（Filtering） 的核心目的可以用一句話總結：
👉 讓有用的頻率通過，抑制不需要的頻率
濾波不是單純「清除」，而是根據設計目標做出取捨：
✔ 強化某些頻率分量
✔ 減弱或去除其他頻率分量
✔ 最終影響輸出波形的結構與能量分佈
🔹 一、濾波的基本定義
在訊號處理裡：
📌 濾波是降低或移除輸入訊號某些頻率成分的過程或裝置。
濾波器本質上是一種：
➡ 在頻率軸上修剪能量
➡ 讓有用訊號的頻率成分保留
➡ 把不需要的雜訊或干擾強度降低
🧠 二、濾波在頻率空間的直覺
一個理想濾波器在頻率空間看起來像：
✔ 低通：通過低頻，阻擋高頻
✔ 高通：通過高頻，阻擋低頻
✔ 帶通：通過某一段頻率
✔ 帶阻：阻擋某一段頻率
這些都是對輸入訊號能量頻率分佈的人工重塑。
🔹 三、工程取捨：留下與犧牲
濾波本質的三個核心取捨：
📍 ① 通帶 vs 阻帶
濾波器把整體頻譜分成：
· 通帶（Pass-band）：允許通過
· 阻帶（Stop-band）：被抑制或衰減
工程上常要考慮：
✔ 允許通過的頻率範圍要多大？
✔ 阻帶抑制要強到什麼程度?
這些設定決定了：
👉 濾波器的選擇性
👉 對訊號失真程度
📍 ② 能量完整性 vs 區分力
濾波要求越強：
✔ 阻帶抑制越深
✔ 通帶過渡越陡
但這會犧牲：
➡ 更大的相位失真（時域波形扭曲）
➡ 更長的脈衝響應或振鈴效果
➡ 更複雜/高階的實作結構
例如：
· 巴特沃斯濾波器通帶平滑但滾降緩
· 切比雪夫濾波器滾降快但通帶有漣波
· 貝塞爾濾波器相位很線性但滾降最緩
這些都是要不要失真 vs 要不要快速分離的取捨。
📍 ③ 時域 vs 頻域影響
濾波對波形的影響不止是「哪個頻率留下」：
✔ 頻率抑制會讓時域出現 振鈴 / overshoot / transient effects
✔ 過度追求頻率精準會造成時序延遲與失真
這是因為頻率與時間域本質上是傅立葉對偶的。
🔹 四、濾波的工程應用
濾波在工程上最常見的用途包括：
✔ 去雜訊（如電力線噪聲、高頻干擾）
✔ 提取特定頻帶的有用信號
✔ 在通訊中做頻率選擇性接收與頻譜分配
✔ 將訊號分解為子頻段（如濾波器組）
📌 一句話記住
濾波 = 在頻率軸上做「允許」與「抑制」的選擇，但這總是伴隨著對能量與時域波形的犧牲與取捨。
🧮 整合型數學題（含解析）
考慮一段輸入訊號：
x(t) = cos(ω₁t) + 0.5·cos(ω₂t)
其中：ω₁ = 1000，ω₂ = 10000
設計一個理想低通濾波器：
H(jω) = 1（若 |ω| ≤ ω_c）
H(jω) = 0（若 |ω| > ω_c）
(1) 若 ω_c = 2000，（留下什麼、犧牲什麼？）
(2) 當輸出 y(t) = ?
(3) 若希望保留高頻部分，需選怎樣的 ω_c？
(4) 工程意義分析
🔍 解析：
（1）留下 vs 犧牲
低通濾波器：
✔ 留下低頻（|ω| ≤ ω_c）
✔ 犧牲高頻（|ω| > ω_c）
因此：
✔ 信號中的 cos(ω₁t) = cos(1000t) 被保留
✔ cos(ω₂t) = cos(10000t) 被完全抑制
（2）輸出 y(t)
因為理想低通只留下 ω ≤ ω_c：
y(t) = cos(1000t)
（3）若想保留高頻部分
若要同時保留 ω₂ = 10000：
需設：
ω_c ≥ 10000
但若 ω_c 太大：
👉 雜訊與不需要的成分也可能進來
這是典型的 選擇性 vs 干擾抑制 的取捨。
（4）工程意義分析
✔ 留下 cos(1000t) → 代表有用信號保存
✔ 犧牲 cos(10000t) → 可能抑除噪聲或不需要的干擾
✔ 選擇 ω_c 有時要平衡：
📌 忽略高頻雜訊
vs 📌 保留有用高頻資訊
沒有通用最優，只有依需求做的設計取捨。
🎯 工程收斂
濾波的本質就是：
🧠 在頻域上選擇哪些頻率留下、哪些頻率抑制，
📉 可改善訊號品質或提取重要成分，
⚠ 但同時伴隨着：
✔ 時域波形的失真
✔ 能量在某些頻率被犧牲
✔ 對通帶與阻帶的平衡取捨
