🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
• 用一句話說清楚「模型＝假設合約」：條件成立就準，條件不成立就爆
• 釐清三件事：你用了哪些假設（Assumption）、在哪些條件仍有效（Validity）、失效時怎麼出事（Failure mode）
• 掌握工程電磁最常用 6 大假設與爆點：線性、時不變、均勻、各向同性、集總、準靜態
• 會用「模型升級地圖」選工具：RLC → 傳輸線/S 參數 → 全波場解，理解是在選風險不是選公式
• 會用上升時間 tr 做尺度判斷：f_knee ≈ 0.5/tr、λ_knee ≈ v/f_knee，判斷何時該升級傳輸線/全波
• 理解材料參數可能是複數且隨頻率/溫度/功率漂移：ε′/ε″、tanδ、磁飽和等如何讓簡化模型失真
• 能把假設失效連到真實爆點：SI/PI 反射振鈴、EMI 輻射、radome 相位偏移、光通訊介質波動等
🧭 一、先抓住三個核心名詞：假設、適用範圍、失效模式
🧱 假設（Assumption）：為了讓問題可解，你先同意忽略一些現象 📏 適用範圍（Validity）：假設在哪些頻率/尺寸/功率/材料條件下仍然成立 💥 失效模式（Failure mode）：假設不成立時，工程會以什麼方式出事（反射、串擾、輻射、發熱、漂移…）
✅ 一句話： 電磁建模不是「會不會算」，而是「你敢不敢忽略」與「你知道何時不能忽略」。
🧱 二、工程電磁最常用的 6 大假設（以及每個假設的“爆點”）
下面這 6 個假設你幾乎天天在用：
1) 📉 線性（Linear）
意思：材料響應與場成正比
- D = εE、B = μH、J = σE（簡化成常數）
💥 何時爆： 🔥 高功率、強場、鐵磁飽和、介電非線性、功率放大器附近強場區
✅ 工程後果： 增益/匹配/相位「突然不再按比例」，模型預測失準。
2) 🕰️ 時不變（Time-invariant）
意思：材料參數不隨時間變
- ε、μ、σ 你當常數用
💥 何時爆： 🌡️ 溫度上升、熱老化、濕度吸水、應力鬆弛、材料劣化
✅ 工程後果： 系統漂移、規格越跑越遠（量產與長期可靠度會痛爆）。
3) 🧊 均勻（Homogeneous）
意思：材料在空間上是同一種
- ε、μ、σ 不隨位置變
💥 何時爆： 🥞 多層介質、封裝混材、玻纖編織、填料不均、孔洞/氣泡
✅ 工程後果： 反射與散射增加、阻抗變動、串擾與 EMI 變難控。
4) 🧭 各向同性（Isotropic）
意思：材料特性不依方向而變
- ε、μ 是純量，不是張量
💥 何時爆： 🧵 晶體、層狀材料、纖維方向性、某些磁材與複材
✅ 工程後果： 偏振/相位/波速方向依賴，天線與波導設計會「偏移」。
5) 🧩 集總近似（Lumped approximation）
意思：元件尺寸遠小於波長 → 電壓電流可視為同時變化
- 你可以用 RLC 一顆顆堆
💥 何時爆： ⚡ 高速上升沿、trace 變長、封裝/連接器/電纜進場
✅ 工程後果： 反射、延遲、振鈴、眼圖崩、SI/PI 出事。
6) 🧠 準靜態近似（Quasi-static）
意思：雖然有時間變化，但傳播效應仍可忽略
- 場的「延遲」不重要，主要是局部耦合
💥 何時爆： 📡 尺寸接近波長、跨空間耦合強、頻率上去、輻射變大
✅ 工程後果： 電路模型被迫升級成傳輸線或全波（full-wave）求解。
🧭 三、最實用的一張“模型升級地圖”（你只要看這張就不容易爆）
你可以把建模選擇想成三個層級：
🧩 Level 1｜集總 RLC（最省） 適用：尺寸 ≪ 波長，延遲可忽略 典型：低頻電路、短導線、小元件
🛣️ Level 2｜傳輸線 / S 參數（中等成本） 適用：線長開始可感知延遲/反射 典型：高速數位、SerDes、封裝互連、RF feedline
🌌 Level 3｜全波場解（最真實） 適用：輻射、複雜邊界、多模態、強耦合 典型：天線、radome、機殼EMC、波導、耦合器、OISL 光學結構
✅ 一句話： 你不是“選模型”，你是在“選風險”：省算力 vs 省出事。
🧮【數學補強 A｜集總/傳輸線分界：用上升時間做尺度判斷】
工程上最實用的判斷不是「頻率」，而是「上升時間」。
訊號上升時間 tr 對應的特徵頻率可用粗估： f_knee ≈ 0.5 / tr
傳播速度 v（例如 FR4 上約為 c/√εᵣ 的量級），對應特徵波長： λ_knee ≈ v / f_knee
如果互連長度 L 變得不可忽略（常用經驗：L ≥ λ_knee/10 或延遲 ≥ tr/6），就該升級到傳輸線。
✅ 工程直覺： 不是你“頻率高”才要傳輸線，而是你“上升沿太快”，空間延遲開始插手。
🧮【數學補強 B｜材料參數可能是複數：損耗其實藏在 ε、μ 裡】
在交流/高頻下，材料會把能量吃掉，工程上常用「複數參數」表達：
ε = ε' − jε'' （ε' 管儲能，ε'' 管損耗）
也常用損耗角正切： tanδ = ε'' / ε'
✅ 工程直覺： 同樣 εᵣ 的材料，tanδ 不同，插入損耗可能差很多；尤其在毫米波/衛星 radome/高速板材。
🧮【數學補強 C｜非線性最典型：磁材飽和（B-H 不再線性）】
當磁材接近飽和，μ 不再是常數，B-H 曲線開始彎折。 你如果還用 B = μH，會嚴重低估或高估磁通、漏磁、磁損與溫升。
✅ 工程直覺： 線性是假設，不是自然定律。功率上來，假設就先倒。
🛰️ 四、把“假設與限制”落地：衛星 × 光通訊 × AI 資料中心常見爆點
🛰️ 衛星終端相控陣：
- radome 材料 εᵣ/tanδ 頻率依賴 → 增益與掃描角偏移
- 陣列耦合強 → 不能用簡單獨立天線模型
🔦 星地/星間光通訊：
- 大氣不是均勻介質（折射率隨時間/高度變）→ 均勻假設爆
- 光學表面污染/粗糙散射 → 用理想邊界會失真
🏢 AI 資料中心（高速電＋光）：
- 封裝與互連早就不是集總 → SI/PI 必須用傳輸線/場
- 介質損耗與粗糙度 → tanδ、表面散射讓簡化模型掉鏈
✅ 共同結論： 越前沿的系統，越容易讓“假設”變成“失效原因”。
🎯 五、你要帶走的五條“踩雷地圖”硬規則
🧱 你每用一個模型，都在套一組假設 📏 先看尺度：尺寸/上升時間/波長決定你能否集總 🔥 再看功率：非線性與飽和會讓常數參數失效 🧪 再看材料：ε、μ、σ 往往隨頻率、溫度、製程漂移 🌌 最後看邊界：只要輻射/耦合/多模態強，你就得回到場
✅ 六、本單元小結
電磁模型的本質是「可控的忽略」。 線性、時不變、均勻、各向同性、集總、準靜態是你最常用的 6 大假設； 但高速/高頻/高功率/複材/封裝/機殼等情境會讓假設失效，迫使你升級到傳輸線或全波場解。 工程師真正的能力是：知道何時簡化可用，何時必爆。
🧪 單元數學練習題（題目下方直接給解答解析）
練習 1｜由上升時間判斷是否該用傳輸線
某數位訊號上升時間 tr = 1 ns。 粗估 f_knee ≈ 0.5/tr。若走線所在介質有效傳播速度 v ≈ 1.5×10⁸ m/s。 (1) 求 f_knee。 (2) 求 λ_knee。 (3) 若走線長 L = 5 cm，是否可能需要傳輸線模型？（用 λ/10 經驗判斷）
✅ 解答解析： (1) f_knee ≈ 0.5 / 1 ns = 0.5 / 1×10⁻⁹ = 5×10⁸ Hz = 500 MH
(2) λ_kne ≈ v/f = 1.5×10⁸ / 5×10⁸ = 0.3 m = 30 cm
(3) λ/10 = 3 cm。L = 5 cm > 3 cm → 需要/強烈建議用傳輸線模型
練習 2｜損耗角正切 tanδ 的意義
某板材 ε' 對應 εᵣ = 3.8，且量得 tanδ = 0.02。 (1) 若 ε = ε' − jε''，求 ε'' 與 ε' 的比例。 (2) tanδ 增加代表什麼工程後果？
✅ 解答解析： (1) tanδ = ε''/ε' = 0.02 → ε'' = 0.02 ε' (2) tanδ 越大 → 損耗越大 → 插入損耗上升、訊號衰減變嚴重、熱更容易上升
練習 3｜線性假設何時會失效（判斷題）
以下哪一個最容易讓「B = μH（μ 常數）」失效？ A. 小訊號 RF 濾波器中的空心電感 B. 大電流電源供應器的磁芯電感接近飽和 C. 低頻小電流訊號線 D. 靜電場中的理想導體
✅ 解答解析： B 正確。磁芯接近飽和時 B-H 曲線變彎，μ 不再是常數，線性假設失效。
練習 4｜均勻與各向同性假設的踩雷（判斷題）
以下哪一種情境最可能讓「材料各向同性」
D.假設不成立？
A. 空氣
B. FR4 玻纖編織方向性明顯的走線區 C. 純水（忽略雜質） D. 真空
✅ 解答解析： B 正確。玻纖編織與層狀結構會造成方向依賴（有效 ε、損耗可能
隨方向變）。
練習 5｜集總 vs 準靜態（概念題）
「準靜態近似」與「集總近似」都在忽略傳播效應。請用一句話區分它們在工程上的差異。
✅ 解答解析：
- 集總近似：直接把結構當成 RLC 元件，假設端點電壓電流“同時變化”。
- 準靜態近似：仍承認場存在與耦合，但假設傳播延遲相對很小，可忽略波動/輻射主導效應。
一句話：集總是把場“壓扁成元件”，準靜態是場還在，但傳播還不夠重要。
