高分必過重點整理 🧮📘
一句話主線
Week 6 的核心，就是正式進入二階以上微分方程，學會把高階線性常微分方程轉成特徵方程，並根據根的型態快速寫出通解。
1) 這週在學什麼？
前面 Week 4、Week 5 你處理的主角都是 一階微分方程。到了 Week 6，重點正式升級到：
- 二階微分方程
- 高階線性微分方程
- 常係數齊次方程
- 特徵方程 characteristic equation
- 不同根型態對應的通解
這一週非常重要，因為它會直接銜接後面的：
- 振動系統
- RLC 電路
- 控制系統
- 機械振盪
- 訊號響應
- 線性系統分析
所以這週真正的主線是：
看到高階線性常係數齊次方程時，能立刻寫出特徵方程，判斷根的類型，再寫出正確通解。
2) 必懂核心觀念
(1) 什麼是高階微分方程？
若方程中最高階導數不是一階，而是二階、三階或更高，就叫高階微分方程。
例如：
y'' + 3y' + 2y = 0
這是二階微分方程。
y''' − y' + y = 0
這是三階微分方程。
(2) 什麼是線性高階微分方程？
標準觀念是：
- y、y'、y''、… 只出現一次方
- 各項彼此不相乘
- 不出現在 sin(y)、eʸ、y² 這種非線性形式中
例如：
y'' + 4y' + 4y = 0 → 線性
y'' + y² = 0 → 非線性 yy'' + y = 0 → 非線性
(3) Week 6 最重要的研究對象
本週最常考的是：
常係數線性齊次微分方程
標準型：
aₙ y⁽ⁿ⁾ + aₙ₋₁ y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁ y' + a₀ y = 0
其中 a₀, a₁, ..., aₙ 都是常數。
二階最常見形式是：
ay'' + by' + cy = 0
3) 為什麼特徵方程這麼重要？
因為這類方程有一個非常漂亮的技巧：
假設解的形式是
y = eʳˣ
代入原方程後，就會把微分方程轉成一個普通代數方程，叫做：
特徵方程 characteristic equation
例如：
y'' + 5y' + 6y = 0
假設 y = eʳˣ
則：
y' = reʳˣ
y'' = r²eʳˣ
代入得：
r²eʳˣ + 5reʳˣ + 6eʳˣ = 0
因為 eʳˣ ≠ 0，所以可約掉，得到：
r² + 5r + 6 = 0
這就是特徵方程。
4) Week 6 最常考的三種根型態
A. 兩個不同實根 Distinct Real Roots
1. 標準型
若特徵方程有兩個不同實根：
r₁ ≠ r₂
則通解為：
y = C₁eʳ¹ˣ + C₂eʳ²ˣ
2. 經典題型
例如：
y'' − 5y' + 6y = 0
特徵方程：
r² − 5r + 6 = 0
因式分解：
(r − 2)(r − 3) = 0
所以根為：
r = 2, 3
因此通解：
y = C₁e²ˣ + C₂e³ˣ
3. 必考觀念
只要根是：
- 實數
- 不重複
答案就是兩個不同指數函數相加。
4. 必考陷阱
陷阱 A：根算錯
因式分解或公式解一錯，後面全錯。
陷阱 B：把不同實根誤寫成重根形式
不同根就是：
y = C₁eʳ¹ˣ + C₂eʳ²ˣ
不是乘 x。
B. 重根 Repeated Real Root
1. 標準型
若特徵方程有重根：
r₁ = r₂ = r
則通解為：
y = (C₁ + C₂x)eʳˣ
這個形式超重要，必背。
2. 經典題型
例如：
y'' − 4y' + 4y = 0
特徵方程：
r² − 4r + 4 = 0
即：
(r − 2)² = 0
所以重根為：
r = 2
因此通解：
y = (C₁ + C₂x)e²ˣ
3. 為什麼要多一個 x？
因為如果只寫 C₁eʳˣ + C₂eʳˣ，兩項其實線性相關，不能形成兩個獨立解。
所以第二個解要乘上 x，變成：
xeʳˣ
這樣才能形成完整通解。
4. 必考陷阱
陷阱 A：重根忘記乘 x
這是最常見失分點。
陷阱 B：寫成 C₁eʳˣ + C₂eʳˣ
這其實和只寫一項沒差。
C. 共軛複根 Complex Conjugate Roots
1. 標準型
若特徵方程根為：
r = α ± βi
則通解為：
y = eᵅˣ(C₁ cos βx + C₂ sin βx)
這是二階 ODE 超級高頻公式。
2. 經典題型
例如：
y'' + 4y' + 13y = 0
特徵方程：
r² + 4r + 13 = 0
用公式解：
r = [-4 ± √(16 − 52)] / 2
= [-4 ± √(-36)] / 2 = -2 ± 3i
所以：
α = -2，β = 3
因此通解：
y = e⁻²ˣ(C₁ cos 3x + C₂ sin 3x)
3. 必考觀念
只要看到根是：
α ± βi
答案一定寫成：
eᵅˣ(C₁ cos βx + C₂ sin βx)
不是直接寫複數指數型當最終答案。
4. 必考陷阱
陷阱 A：β 寫錯
複數根中的虛部大小，就是 sin 和 cos 裡面的係數。
陷阱 B：漏掉前面的 eᵅˣ
這個衰減或成長外殼很重要。
陷阱 C：把 cos、sin 寫成 eᵝˣ
這是根型態混淆。
5) 二階常係數齊次方程的標準解題流程
Step 1：確認題型
先看是不是：
ay'' + by' + cy = 0
而且 a,b,c 是常數。
Step 2：寫特徵方程
把 y''、y'、y 對應成：
r²、r、1
得到：
ar² + br + c = 0
Step 3：解出特徵根
可能出現三種情況：
- 兩個不同實根
- 重根
- 共軛複根
Step 4：依根型態寫通解
這一步是考試核心。
Step 5：若有初始條件，再求常數
例如已知：
y(0)，y'(0)
就代入通解與導數求 C₁、C₂。
6) 經典題型統整
題型 1：不同實根
y'' − y' − 6y = 0
特徵方程：
r² − r − 6 = 0
= (r − 3)(r + 2) = 0
所以：
r = 3, -2
通解：
y = C₁e³ˣ + C₂e⁻²ˣ
題型 2：重根
y'' + 6y' + 9y = 0
特徵方程：
r² + 6r + 9 = 0
= (r + 3)² = 0
通解：
y = (C₁ + C₂x)e⁻³ˣ
題型 3：複根
y'' + 2y' + 5y = 0
特徵方程：
r² + 2r + 5 = 0
根為：
r = -1 ± 2i
通解：
y = e⁻ˣ(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x)
7) 高階 n 階常係數齊次方程觀念延伸
若題目是三階以上，例如：
y''' − 6y'' + 11y' − 6y = 0
則特徵方程為：
r³ − 6r² + 11r − 6 = 0
若可因式分解成：
(r − 1)(r − 2)(r − 3) = 0
則通解為：
y = C₁eˣ + C₂e²ˣ + C₃e³ˣ
若有重根
例如：
(r − 2)³ = 0
則對應解要寫成：
y = (C₁ + C₂x + C₃x²)e²ˣ
這是重根觀念往高階延伸的結果。
8) 工程意義連結
(1) 振動系統
二階 ODE 常用來描述：
- 彈簧質量系統
- 機械振動
- 阻尼振動
若出現複根，通常代表振盪行為。
(2) RLC 電路
RLC 電路的電流或電壓常會滿足二階線性 ODE。
根的型態對應：
- 過阻尼
- 臨界阻尼
- 欠阻尼
本質上就是看特徵根型態。
(3) 控制系統
二階系統的自然響應，核心也是二階特徵方程。
穩定度、振盪、衰減速度都和根的位置有關。
9) 考前最容易失分的地方
第一種失分
不知道何時可以用特徵方程。
只有在線性、常係數、齊次的情況下，這招最直接。
第二種失分
重根漏乘 x。
第三種失分
複根通解公式背錯。
第四種失分
有初值卻只寫通解，沒求常數。
第五種失分
特徵方程解根時代數出錯。
10) 必背公式區
二階常係數齊次方程
ay'' + by' + cy = 0
特徵方程：
ar² + br + c = 0
若 r₁, r₂ 為不同實根
y = C₁eʳ¹ˣ + C₂eʳ²ˣ
若 r 為重根
y = (C₁ + C₂x)eʳˣ
若 r = α ± βi
y = eᵅˣ(C₁ cos βx + C₂ sin βx)
11) 一題秒判斷技巧
技巧 1
看到：
ay'' + by' + cy = 0
而且係數是常數
→ 直接想特徵方程。
技巧 2
判別式：
Δ = b² − 4ac
可以快速判斷根型態：
- Δ > 0 → 兩個不同實根
- Δ = 0 → 重根
- Δ < 0 → 複根
技巧 3
若是複根 α ± βi
→ 直接聯想到：
eᵅˣ(C₁ cos βx + C₂ sin βx)
12) 本週高分作答模板
模板 A：二階常係數齊次方程
- 先寫出特徵方程。
- 求出特徵根。
- 依根型態寫出通解。
- 若有初始條件，再代入求常數。
模板 B：高階常係數齊次方程
- 寫出特徵方程。
- 因式分解或求根。
- 依每個根的重數寫出對應解。
- 線性組合成總通解。
13) 本週速讀版總整理
Week 6 的重點，是把二階以上常係數線性齊次微分方程，透過特徵方程轉成代數求根問題。
若有兩個不同實根，通解是兩個指數函數相加； 若有重根，第二項要乘 x； 若有複根 α ± βi，通解寫成 eᵅˣ(C₁ cos βx + C₂ sin βx)。 真正高分關鍵不在硬算，而是看到題目就能立刻判斷根型態並寫出正確通解形式。
14) 一句收尾
Week 6 真正的高分關鍵，不是把每題都算很久，而是看到二階常係數齊次方程時，能立刻把它變成特徵根問題。。
