高分必過重點整理 🧮📘
一句話主線
Week 5 的核心，就是在 Week 4 三大型態之外，進一步學會辨認與處理進階一階方程：齊次方程、Bernoulli 方程，以及某些可透過代換化簡後再解的一階微分方程。
1) 這週在學什麼？
Week 4 你已經學會了一階 ODE 最基本的三大工具：- 可分離變數
- 一階線性方程
- 恰當方程
到了 Week 5，老師通常會開始教你一些 「看起來不是標準型，但透過代換可以轉成標準型」 的題目。這一週的主角通常是：
- 齊次一階微分方程 Homogeneous First-Order ODE
- Bernoulli Equation
- 適當代換法 substitution
- 有些課本也會帶到非恰當方程的積分因子觀念
所以這週最重要的能力，是看到題目後先問自己：
- 這題能不能用 代換？
- 這題是不是 齊次方程？
- 這題是不是 Bernoulli 方程？
- 代換之後，會不會變成 可分離 或 線性方程？
2) 必懂核心觀念
(1) Week 5 和 Week 4 最大差別是什麼？
Week 4 的題目，很多時候型態很明顯。
例如一看就知道：
- 可分離
- 線性
- exact
但 Week 5 的題目，常常是：
表面上看不出來，必須先做代換，才會露出本質。
也就是說，這週考試真正的關鍵，是：
先辨認結構，再決定代換。
(2) 為什麼代換法這麼重要？
因為很多方程本來不好解，但只要換一個變數，就會變成熟悉的形式。
例如：
- 變成可分離
- 變成一階線性
- 變成標準積分形式
所以這週的本質，不是新公式突然暴增，而是：
把陌生題目變成熟悉題目。
3) Week 5 最常考的三大型態
A. 齊次一階微分方程 Homogeneous First-Order ODE
1. 標準觀念
如果微分方程可寫成：
dy/dx = F(y/x)
或
dy/dx = F(x/y)
其中右邊只和 y/x 的比值 有關，就很可能是齊次方程。
最常見的是：
dy/dx = F(y/x)
這時標準代換為：
y = vx
所以 dy/dx = v + x(dv/dx)
然後代回原式，通常就能變成 可分離方程。
2. 怎麼判斷是齊次？
常見判斷方法有兩種。
方法 A：直接看是不是 F(y/x)
例如：
dy/dx = (x + y)/x
可化成：
dy/dx = 1 + y/x
右邊只和 y/x 有關，這就是齊次。
方法 B：分子分母同次
若題目長成：
dy/dx = (ax + by)/(cx + dy)
分子分母都為一次式，通常也是齊次。
例如：
dy/dx = (x + 2y)/(3x - y)
把 x 提出去後，會變成只含 y/x。
3. 標準解題模板
Step 1：確認右邊是否可寫成 F(y/x)
若可以，就判定為 homogeneous。
Step 2：做代換
令
y = vx
則
dy/dx = v + x(dv/dx)
Step 3：代回原方程
把原本的 y 全部改成 vx，dy/dx 改成 v + x dv/dx。
Step 4：整理成 dv/dx 的方程
通常會變成可分離變數。
Step 5：分離並積分
求出 v 與 x 的關係。
Step 6：代回 v = y/x
最後改回 y 與 x 的答案。
4. 經典題型
例如：
dy/dx = (x + y)/x
先改寫：
dy/dx = 1 + y/x
令
y = vx 則 dy/dx = v + x dv/dx
代入：
v + x dv/dx = 1 + v
所以：
x dv/dx = 1
即：
dv/dx = 1/x
積分得：
v = ln|x| + C
因為 v = y/x，所以：
y/x = ln|x| + C
最後：
y = x(ln|x| + C)
5. 必考陷阱
陷阱 A：看見 x 和 y 混在一起就亂代換
不是所有含 x,y 的式子都能用 y=vx。
陷阱 B：忘了 dy/dx = v + x dv/dx
這是齊次代換最常錯的地方。
陷阱 C：最後忘記代回 y/x
算到 v 就停住，答案不完整。
B. Bernoulli 方程
1. 標準形式
Bernoulli equation 的標準型是：
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ
其中
n ≠ 0, 1
這一型很重要，因為它看起來不是線性，但透過代換可以變成線性。
2. 為什麼它特別？
如果 n=0：
dy/dx + P(x)y = Q(x)
這已經是線性方程。
如果 n=1：
dy/dx + P(x)y = Q(x)y
整理後也是線性。
所以 Bernoulli 真正特別的地方，是 n 不是 0 也不是 1。
3. 核心代換
對 Bernoulli 方程：
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ
兩邊先除以 yⁿ：
y⁻ⁿ dy/dx + P(x)y^(1-n) = Q(x)
然後令：
u = y^(1-n)
則
du/dx = (1-n)y⁻ⁿ dy/dx
代換後就能把方程改寫成 一階線性方程。
4. 標準解題模板
Step 1：確認是不是 Bernoulli 型
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ，且 n≠0,1
Step 2：兩邊除以 yⁿ
整理出 y^(1-n) 與 y⁻ⁿ dy/dx
Step 3：令
u = y^(1-n)
則
du/dx = (1-n)y⁻ⁿ dy/dx
Step 4：代回變成 u 的線性方程
通常會變成：
du/dx + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)
Step 5：用積分因子解 u
這時就回到 Week 4 的線性方程方法。
Step 6：把 u 代回 y
最後由 u = y^(1-n) 解回 y。
5. 經典題型
例如：
dy/dx + y = xy²
這裡
P(x)=1 Q(x)=x n=2
符合 Bernoulli 方程。
先除以 y²：
y⁻² dy/dx + y⁻¹ = x
令：
u = y^(1-2) = y⁻¹
則：
du/dx = -y⁻² dy/dx
所以：
-y⁻² dy/dx + u = x
即：
du/dx - u = -x
這就是一階線性方程，接著用積分因子解即可。
6. 必考陷阱
陷阱 A：沒確認 n≠0,1
若 n=0 或 1，就不用 Bernoulli。
陷阱 B：代換後微分關係寫錯
尤其是負號最常錯。
陷阱 C：u 解出後忘記還原成 y
這和齊次方程很像，常常差最後一步。
C. 適當代換法 Substitution Method
1. 標準觀念
有些一階方程既不是明顯可分離，也不是標準線性，也不是 exact，
但透過觀察結構，可以做代換化簡。
這類題型重點不在固定公式，而在 看出結構。
2. 常見代換思路
類型 A：看到 x+y、x-y、ax+by
可以令：
u = x + y
或 u = x - y
因為微分後：
du/dx = 1 + dy/dx
或 du/dx = 1 - dy/dx
有時能把式子化簡。
類型 B：看到 y/x
用：
y = vx
這就是齊次代換。
類型 C：看到某個複合結構反覆出現
例如題目含：
(x+y)²、sin(x+y)、e^(x-y)
可考慮令：
u = x+y
或 u = x-y
3. 標準解題模板
Step 1：觀察是否有重複組合
例如 x+y、x-y、xy、y/x 等。
Step 2：令新變數 u
把複雜結構濃縮成一個符號。
Step 3：求 du/dx
把原方程全部改寫成 u 與 x 的形式。
Step 4：看是否變成可分離或線性
大多數題目目標就是這裡。
Step 5：解出 u
Step 6：代回原變數
4. 經典觀念
這類題目沒有單一固定標準型，
所以真正高分關鍵是：
看出題目裡哪一坨東西一直重複出現。
4) 補充：非恰當方程與積分因子觀念
有些課程在 Week 5 也會簡單碰到：
若
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
但
∂M/∂y ≠ ∂N/∂x
則不是 exact。
這時有些題目存在一個 integrating factor，乘上去後可變成恰當方程。
但如果老師這週只講齊次與 Bernoulli，這部分通常先知道概念即可，不一定是主考點。
5) 考試最常出的判斷題
看到這種型態，優先想齊次
dy/dx = (x + y)/x
因為可寫成：
dy/dx = 1 + y/x
只和 y/x 有關。
看到這種型態，優先想 Bernoulli
dy/dx + 3y = xy²
符合：
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ
且 n=2。
看到這種型態，優先想代換
dy/dx = (x+y)²
因為 x+y 反覆出現，可令：
u = x+y
6) 必背公式區
齊次方程
若
dy/dx = F(y/x)
令：
y = vx
則：
dy/dx = v + x dv/dx
Bernoulli 方程
標準型：
dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ, n ≠ 0,1
令：
u = y^(1-n)
則可化為一階線性方程。
一階線性方程回顧
若
du/dx + P(x)u = Q(x)
積分因子：
μ(x) = e^(∫P(x)dx)
7) 一題秒判斷技巧
技巧 1
右邊若只依賴 y/x
→ 想 齊次方程
技巧 2
若出現 dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ
→ 想 Bernoulli
技巧 3
若某個組合反覆出現
→ 想 代換法
技巧 4
代換後若變成可分離或線性
→ 方向通常就是對的
8) 工程應用連結
(1) 非線性成長模型
某些人口、化學反應、飽和成長模型會出現 Bernoulli 型式。
(2) 電路與控制中的狀態變數化簡
有些方程雖然原本形式複雜，但透過代換可化成標準一階線性模型。
(3) 相似比例問題
若系統只和比例 y/x 有關，往往會出現齊次方程，這在幾何、流場、某些尺度分析裡都可能出現。
9) 考前最容易失分的地方
第一種失分
看不出要代換。
題目本來不是不會，而是你沒先變形。
第二種失分
齊次代換後 dy/dx 寫錯。
一定要記得：
dy/dx = v + x dv/dx
第三種失分
Bernoulli 代換時負號或次方錯。
尤其 u = y^(1-n) 很容易抄錯。
第四種失分
代換完解出 u 或 v，卻沒換回 y。
第五種失分
明明是普通線性方程，卻硬套 Bernoulli。
先看 n 是不是 0 或 1。
10) 本週高分作答模板
模板 A：齊次方程
- 先確認右邊可寫成 F(y/x)。
- 令 y = vx，故 dy/dx = v + x dv/dx。
- 代回原式，整理成 dv/dx。
- 化為可分離方程後積分。
- 代回 v = y/x，得到答案。
模板 B：Bernoulli 方程
- 將題目整理成 dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ。
- 確認 n ≠ 0,1。
- 令 u = y^(1-n)。
- 將原式化為 u 的一階線性方程。
- 用積分因子求 u。
- 再代回 y。
模板 C：一般代換法
- 觀察是否有重複結構。
- 令 u 為重複出現的組合。
- 求 du/dx。
- 代回後化為熟悉型態。
- 解出 u，再還原原變數。
11) 本週速讀版總整理
Week 5 的重點，是把表面複雜的一階微分方程，透過代換變成熟悉題型。
若右邊只和 y/x 有關，就是 齊次方程，令 y=vx；
若題目是 dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ，且 n≠0,1，就是 Bernoulli 方程，令 u=y^(1-n)；
若題目裡某個組合反覆出現，就考慮 代換法。
真正高分關鍵不在硬背，而在於先看出結構，再把陌生題目轉成熟悉的可分離或線性方程。
12) 一句收尾
Week 5 真正的實力，不是多會算，而是能一眼看出「這題該先換變數」。
