選舉要到了，讓我們來聊聊策略性投票與數學

隨著選舉日的到來，近日總統候選人名單也大致底定了。我們常常聽到，當候選人人數為三個人以上時，人們為了不讓某位候選人當選，會策略性地將原本支持其他候選人的選票轉投給另一位更有贏面的候選人，藉此來集中選票。這就是大家常說的「棄保效應」。這種策略性投票可能會造成少數黨的候選人支持度被嚴重低估，而無法反映真實的民意。那麼，我們是否能透過數學來設計出一個能避免棄保效應的投票法呢？答案是有的，它就是孔多塞投票法（Condorcet voting）。

孔多塞投票法是由法國數學家孔多塞（Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet）提出。它的運作原理是我們每次只對兩位候選人進行投票。例如，假設今有A、B、C三位候選人，那麼我們就要在A與B中進行票選，同時也在B與C，以及C與A中進行票選。因為三位候選人中任取兩位的組合數為3，因此會進行3次投票。看到這裡，你或許會想問：「那這樣如果有n個候選人，不就要投C^{n}_{2}次了？」理論上是的，但實務上這件事會交給電腦來做，我們只需要將自己對各個候選人的偏好進行排序即可。什麼意思呢？讓我們看看下面的例子。

例如某人對三位候選人A、B、C的偏好排序為：A第一順位，B第二順位，及C第三順位，記為A > B > C，則在對A與B進行投票時，系統將認定此人投票給A，以此類推。以下我們列出所有可能的排序結果，並假設這些結果的得票數，來說明最後孔多塞投票法會如何決定當選人。附表為所有的排序與它的得票比例。

偏好排序 得票比例（%）

A > B > C： 20

A > C > B： 20

B > A > C： 0

B > C > A： 35

C > A > B： 10

C > B > A： 15

從附表我們可以看到在A與B的對決中，他們以50比50打成平手，在B與C的配對中是55比45，而A與C的配對則是40比60。因此，A的「最大反對票數」為60%，B為50%，而C為55%。當選人將是得到最少反對票數的候選人B。

我們不妨看看如果是以一般的計票方式，會得到什麼結果。透過附表我們可以看到以A為第一順位者共佔40%，B為35%，而C為25%。結果將大不同，當選人為A。有趣的是，這個結果在孔多塞投票法中是最壞的選擇。

那麼，究竟什麼投票法才是最公平的投票法呢？這就涉及到了何謂公平的定義問題。如果我們想要避免策略性投票，孔多塞投票法就是一種較好的選擇。然而，已經有數學家證明了不存在「絕對公平」的投票法，不過那又是另一個故事了。